Добрый день!

Необходимо решить следующую краевую задачу для уравнения Лапласа в кольце:

$$\begin{cases} \Delta u = 0, 1 < r < 3, -\pi<\phi<\pi; \\ u(1, \phi) = cos^3{\phi}, u(3, \phi)=\phi^{2}. \end{cases}$$

К сожалению, мне не удается довести решение до конца. Поделюсь своими рассуждениями.

Общее решение имеет вид: $$u(r,\phi) = a_0lnr + b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ (r^na_n + r^{-n}c_n)cos(n\phi) + (r^nb_n + r^{-n}d_n)sin(n\phi) \Big ]$$

При подстановке первого краевого условия получим

$$u(1, \phi) = b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ (a_n + c_n)cos(n\phi) + (b_n + d_n)sin(n\phi) \Big ] = cos^3{\phi} = \frac{3}{4}cos{\phi} + \frac{1}{4}cos{3\phi}.$$

Соответственно, $$a_1 + c_1 = \frac{3}{4}, \ a_3 + c_3 = \frac{1}{4} \\ a_n=0 \ при\ n \notin \{0, 1, 3\},\\ c_n=0 \ при \ n \notin \{1, 3\}, \\ \forall n \geqslant 0\ \ b_n=0, d_n=0 $$

При подстановке второго краевого условия выражение примет следующий вид: $$u(3, \phi) = a_0ln3 + b_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ (3^na_n + 3^{-n}c_n)cos(n\phi) + (3^nb_n + 3^{-n}d_n)sin(n\phi) \Big ] = \phi^2$$ Коэффициенты выражаются следующим образом: $$ a_0ln3 + b_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \phi^2 d\phi = \frac{\pi^2}{3}, \\ 3^na_n + 3^{-n}c_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \phi^2 cos(n\phi) d\phi = \frac{4cos(\pi n)}{n^2}, n\geqslant 1\\ 3^nb_n + 3^{-n}d_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \phi^2 sin(n\phi) d\phi = 0, n\geqslant 1$$

Далее необходимо вычислить значения коэффициентов. Я сомневаюсь, какую систему нужно составить в данном случае. Не могли бы Вы помочь мне придти к решению этого вопроса?

задан 20 Окт '18 17:17

изменен 20 Окт '18 17:33

А в чём сомневаетесь?... у Вас есть уравнение для пар коэффициентов $%(a_k; c_k)$% и $%(b_k;d_k)$%, которые Вы получили из двух условий... вот и решайте эти системы из двух уравнений с двумя неизвестными...

(20 Окт '18 22:46) all_exist

Присмотрелся к Вашим записям... как-то Вы слишком лихо сделали вывод из первого условия... чего ради у Вас столько нулевых коэффициентов стразу получилось?... Должно быть $%b_n+d_n=0$% и со второй парой аналогично?

(20 Окт '18 22:49) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,002
×38

задан
20 Окт '18 17:17

показан
260 раз

обновлен
20 Окт '18 22:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru