Пусть $% R $% фактор кольцо, $% x,y \in R $% не нулевые.
И пусть $% x = \varepsilon a_1^{\alpha_1} \ldots a_{n}^{\alpha_{n}}, y = \mu a_1^{\beta_1} \ldots a_n^{\beta_n} $% (каноническое разложение, т.е. элементы попарно не ассоцированы) тогда
НОД равен минимальному из степеней при разложении.
Мое док-во такое:
Т.к. элементы попарно не ассоцированы, то $% gcd(x,y) = gcd(a1^{\alpha_1}, a_1^{\beta_1}) \ldots gcd(,a_{n}^{\alpha_{n}} \ldots a_n^{\beta_n}) $%, т.е. утверждение доказано. Правильно? С НОКОМ аналогично можно?

задан 24 Окт 21:13

@Williams Wol...: у Вас в самом начале спутаны разные термины. Есть понятие факторкольца по идеалу (слово там пишется слитно), но здесь никакого идеала не задано. Речь, судя по контексту, идёт о факториальном кольце, то есть о кольце с единственным разложением на простые элементы.

Утверждения такого типа обычно излагаются в учебниках. Рассуждения там, как правило, несложные, но их надо корректно излагать. У Вас написана какая-то формула, которая по сути верна, но она нисколько не более очевидна, чем то, что требуется доказать. Я бы такое рассуждение не засчитал.

(25 Окт 11:00) falcao

Я в учебниках не нашел, я формулу записал в таком виде, т.к. работает формула, если gcd(a,d) = 1, тогда gcd(a, bd) = gcd(a,b) (На этом должно строиться доказательство? Я написал это равенство для двух разложений, ведь элементы при разложении попарно не ассоциированы.

(25 Окт 12:07) Williams Wol...

@Williams Wol...: у Вас сомножителей много, и формулы для двух чисел под gcd формально не достаточно. Саму формулу надо доказывать, потом обобщать. Я не уверен, что это лучший метод.

Я бы сделал по-другому: сначала вывел критерий того, что один элемент в каноническом разложении делит другой. Ровно так же, как мы это делаем для обычных целых чисел. Отсюда всё легко следует и для общего случая (для НОК в том числе).

(25 Окт 12:29) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,079

задан
24 Окт 21:13

показан
45 раз

обновлен
25 Окт 12:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru