функциональный-анализ - Ограниченность, замкнутость множества

Проверить множества на ограниченность, вполне ограниченность и замкнутость в $%\mathbb{L_1}[0,1]:$%

1. $%S=\{f\in\mathbb{L_1}[0,1]: 0\leq f(x)\leq \frac{1}{\sqrt{x}} \text{п.в.} x\in (0,1)\}$%
2. $%S=\{f\in C^1[0,1]: f(0)= 0, |f'(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{x}}\forall x\in (0,1)\}$%

В $%c_0:$%

1. $%S=\{x\in c_0: \exists f\in \mathbb{L_1}[0,1], ||f||1\leq 1, \forall k\in\mathbb{N} x(k)=\int{2^{-k}}^{2^{1-k}}f(t)dt\}$%
2. $%S=\{x\in c_0: \exists f\in \mathbb{L_2}[0,1], ||f||2\leq 1, \forall k\in\mathbb{N} x(k)=\int{2^{-k}}^{2^{1-k}}f(t)dt\}$%

В $%C[0,1]:$%

1. $%S=\{x\in C[0,1]: \exists g\in C[0,1], ||g||1\leq 1, \forall x\in[0,1] f(x)=\int{0}^{x}g(t)dt\}$%
2. $%S=\{x\in C[0,1]: \exists g\in C[0,1], ||g||2\leq 1, \forall x\in[0,1] f(x)=\int{0}^{x}g(t)dt\}$%