|
Здравствуйте! Задача со школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике (11 класс) в городе Иваново Ивановской области. Решить неравенство $$\large\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+8\sin{x}<8$$ задан 28 Окт '18 14:01 
Don_Eduardo |
|
Областью определения здесь будет множество $%x\in[0,1]$%. Докажем, что на нём выполнено неравенство, то есть этот отрезок и будет ответом. Оценки здесь должны быть достаточно точными, поскольку значение функции здесь довольно близко к 8, если $%x$% близко к 1. Я поначалу рассчитывал, что пройдёт оценка $%\sin x\le\sin1 < \sin\frac{\pi}3=\frac{\sqrt3}2$%. Однако такой точности здесь не хватает, поскольку функция $%\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$% достигает значения $%\sqrt2$% при $%x=\frac12$%, и при стремлении $%x$% к 1 убывает довольно медленно. Не знаю, какой замысел был у авторов, но если доказывать аналитически, то получается довольно сложно. Прежде всего, при помощи производной можно доказать неравенство $%\sin x < x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}$% на промежутке $%x\in[0,1]$%. Это даёт неравенство $%8\sin x\le8\sin1 < \frac{101}{15}$%. Этой точности хватает, чтобы доказать неравенство при $%x\ge0.9$%, так как на этом промежутке функция $%\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$% убывает, и её значения не превосходят $%\sqrt{0.9}+\sqrt{0.1} < \frac{19}{15}$%, что проверяется возведением в квадрат и приводит к весьма точному неравенству $%135 < 136$%. Теперь пусть $%x\le0.9$%. Тогда сумму квадратных корней оцениваем сверху корнем из двух, а для синуса оказывается что $%\sin x < 0.8$%, и такой точности уже хватает. Это всё, конечно, выглядит сложновато -- если калькуляторы не разрешается использовать, то вручную получить доказательство нелегко. отвечен 28 Окт '18 16:28 
falcao 1
@falcao:Функцию для исследования можно упростить, поскольку достаточно доказать неравенство $%\sqrt{1-x}+8\sin x<7$%. Но "олимпиадного" решения не вижу.
(28 Окт '18 16:41)
EdwardTurJ
@EdwardTurJ: идея интересная, но я сейчас прикинул -- всё равно получается сложновато. Интересно, что они имели в виду?
(28 Окт '18 17:57)
falcao
|
|
$%x= 1-t^2\ , \ t \in [0, 1]$% $$t+\sqrt {1-t^2}+8\sin (1-t^2)<8$$ $%\sqrt {1-t^2}<1-\dfrac {t^2}{2} \ , \ \sin (1-t^2)<\sin (1)-\cos (1) t^2 <\dfrac {\sqrt 3}{2}-\dfrac {t^2}{2}$% $%\ \sin (1-x) < \sin (1)-\cos (1) x\ , $% синус выгнут вверх на $%[0, 1] $% $% \ (\sin (1)< \sin \left(\dfrac {\pi }{3}\right)\ , \cos (1) >\cos\left ( \dfrac {\pi}{3}\right))$% $%\Leftrightarrow 9t^2-2t+14 > 8\sqrt 3 \ ( t \in [0, 1])\Leftrightarrow \dfrac {125}{9} > 8\sqrt 3$% отвечен 30 Окт '18 12:11 
Sergic Primazon @Sergic Primazon: как получилось неравенство для sin(1-t^2)? Если записать sin(1)cos(t^2)-cos(1)sin(t^2), то после применения неравенств с sqrt(3)/2 и 1/2 справа будет sin(t^2), а не само t^2, а знак там "минус", поэтому синус нельзя заменить на аргумент.
(30 Окт '18 12:56)
falcao
@falcao - там не замена на аргумент . Я просто провел касательную к выпуклому вверх синусу .
(30 Окт '18 13:31)
Sergic Primazon
@Sergic Primazon: да, в таком виде всё работает. Но та форма, в которой используется неравенство, "провоцирует" мысль о том, что была применена формула синуса разности. Наверное, надо было сказать о касательной к графику sin(1-z) в нуле -- тогда мысль была бы понятнее.
(30 Окт '18 13:43)
falcao
|