alt text

задан 31 Окт 23:02

Из теории рядов Фурье известно, что ряд сходится к функции (п-x)/2 на (0,п). Она интегрируема по Риману на отрезке. Величина интеграла равна п^2/4.

(31 Окт 23:38) falcao

@falcao, возможно ли это доказать не используя ряды Фурье?

(31 Окт 23:59) bbbbbb

@bbbbbb: можно рассмотреть мнимую часть ряда от e^{inx}/n, сделать замену z=e^{ix} и явно просуммировать. На форуме нечто подобное много раз делали.

(1 Ноя 1:37) falcao

@falcao, а почему нельзя просто интеграл занести под знак суммы и почленно проинтегрировать?

(1 Ноя 2:22) bbbbbb

@bbbbbb: наверное, можно. По крайней мере, ответ там совпадает с предыдущим. Но там надо будет какие-то признаки применять и проверять, а также использовать формулу для ряда из 1/n^2, которая сама обычно доказывается при помощи рядов Фурье. Я не думаю, что такой способ будет лучше.

(1 Ноя 2:29) falcao

@falcao, вы бы не могли немного подробнее расписать суммирование ряда при замене z=e^{ix}, у меня что-то не выходит

(1 Ноя 2:34) bbbbbb

@bbbbbb: воспользуйтесь тем, что z+z^2/2+z^3/3+... равно -ln(1-z). Потом приведите 1-z=1-cos ф-isin ф к тригонометрической форме (через половинный угол). У того, что получится, рассмотрите мнимую часть.

(1 Ноя 2:45) falcao

@falcao, получилось, что $$-ln(2sin( \varphi /2)[cos(arctg(-ctg \varphi /2))+isin(arctg(-ctg \varphi /2))])$$. Что дальше с этим делать?

(1 Ноя 3:53) bbbbbb

@bbbbbb: откуда такие сложные выражения? Зачем арктангенс котангенса?

(1 Ноя 4:08) falcao

@falcao, вот пока считал, такое получилось

(1 Ноя 4:11) bbbbbb

@bbbbbb: 1-z=1-cos ф-isin ф=2sin(ф/2)(sin(ф/2)-icos(ф/2))=2sin(ф/2)(cos((п-ф)/2)-isin((п-ф)/2))=2sin(ф/2)exp(-i(п-ф)/2); отсюда -ln(1-z)=-ln(2sin(ф/2))+i(п-ф)/2. Мнимая часть равна (п-ф)/2.

(1 Ноя 12:58) falcao

@falcao, да точно, спасибо огромное!

(1 Ноя 13:09) bbbbbb

@falcao Выходит с помощью комплексного представления и пары простых интегралов можно найти сумму ряда обратных квадратов? Надо подумать как это попроще оформить.

(1 Ноя 14:46) abc

@abc: я не уверен, что такой путь получения формулы будет проще, скажем, разложения x^2 в ряд Фурье.

(1 Ноя 15:30) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,714
×4

задан
31 Окт 23:02

показан
64 раза

обновлен
1 Ноя 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru