Как доказать (не на пальцах, а хотя бы сколько-нибудь строго), что следующие пространства гомотопически эквивалентны?

две окружности на плоскости, имеющие одну общую точку (типа "восьмерки")

две дизъюнктные окружности на плоскости, соединенные отрезком

задан 3 Ноя 1:15

1

Отрезок постепенно стягиваем в точку. Это и есть гомотопическая эквивалентность. Такие доказательства являются общепринятыми и совершенно строгими. Если Вы под "строгим" доказательством понимаете выписывание длинных формул, то тогда надо быть последовательным, и требовать вывода в аксиоматическом исчислении типа теории множеств Цермело - Френкеля :)

(3 Ноя 1:38) falcao

Всё-таки напрямую это не следует из стягиваемости отрезка. Надо доказать, что существуют отображения из восьмерки в другое пространство и из другого пространства в восьмерку, обе композиции которых гомотопны постоянным. Если мы знаем соответствующие отображения для отрезка и точки, то они априори ничего не дают, поскольку не определены на восьмерке и другом пространстве (а определены только на их частях).

(3 Ноя 6:07) numerist

@numerist: отображения тут понятно какие: в одну сторону, отрезок переходит в общую точку двух окружностей "восьмёрки". В другую: точки одной окружности на месте, а у второй окружности склеиваются две небольшие дуги, в результате чего формируется соединяющий окружности отрезок. Композиции тут легко прослеживаются. Понятно, что они гомотопны тождественным -- надо длину отрезка склейки устремить к нулю.

(3 Ноя 12:17) falcao

Понятно, что они гомотопны тождественным - нет, не понятно, даже 'на пальцах'. Смысл слов 'надо длину отрезка склейки устремить к нулю' тоже не особо ясен.

Теория множеств Цермело-Френкеля тут ни при чем, я тут не 'вредничаю', а действительно не доверяю каким-то 'ощущениям' (которых, для начала, у меня вообще нет - как я сказал, я даже не представляю, почему те отображения (композиции) вдруг должны быть гомотопными постоянным). Для того (прежде всего), чтобы понять, почему они гомотопны, и нужны доказательства, а не для того, чтобы получить с формальной точки зрения 'строгое доказательство'.

(4 Ноя 7:20) numerist

@numerist: рассмотрим одно из отображений. Есть "восьмёрка", состоящая из двух окружностей длины 1. Отображаем её в себя. Берём правую окружность, на ней точки с координатами, скажем, от 0 до 1/3 и от 2/3 до 1. Эти два отрезка стягиваем в точку (общую для двух окружностей). Маленькую окружность длины 1/3 масштабируем линейно до единичной. Именно такое отображение возникает при композиции. Надо доказать, что оно гомотопно тождественному. Понятно, какое именно семейство отображений надо взять. Вместо 1/3 берём число t и склеиваем в точку отрезки [0,t] и [1-t,1]. При этом t меняем от 1/3 до 0.

(4 Ноя 13:22) falcao

@falcao: Теперь 'на пальцах' из Вашего комментария понятно всё, кроме последних двух предложений. Что значит "вместо 1/3 берем число t"? И где эти отрезки [0,t],[1-t,1] живут? Это всё возможно записать в формульном виде? (Включая предыдущие шаги, которые тоже не ясно, как записать в формульном виде)

(4 Ноя 19:19) numerist

@numerist: для каждого t из отрезка [0,1/3] строим отображение, зависящее от t, аналогичное тому, которое я описал для t=1/3. А именно, у правой окружности (единичной) берём "концы" [0,t] и [1-t,1]. Точки этих дуг отображаем в общую точку "восьмёрок". Отрезок [t,1-t] масштабируем до единичного. "Формулки" для линейного отображения этого отрезка на [0,1] (самое вкусненькое, наверное! :)) легко можете выписать сами.

Построенное семейство отображений переводит композицию, которая была, в тождественное отображение.

(4 Ноя 20:26) falcao

1) Композиция отображений, которые Вы изначально описали (второй Ваш комментарий), не предполагает растягивания правой окружности в конце. Надо тогда отображение из второго комментария подправить?

2) Почему Вы упомянули только формулы для линейного отображения из [t,1-t] в [0,1]? Это же какой-то малюсенький кусочек общей картины. Кроме того, это не отрезок, а какая-то дуга окружности, при какой-то странной параметризации окружности отрезком. Но кроме формулы растяжения этой дуги еще полагается как-то выразить первый шаг отображения (стягивание двух дуг), что не очень выполнимо.

(5 Ноя 8:26) numerist

@numerist: окружность -- это отрезок с отождествлёнными концевыми точками. Поэтому она так и параметризуется. Даже если брать углы, то там происходит то же: 0=2п.

Отображения здесь проводятся из множества в себя, поэтому растяжение обязательно. Общая картина здесь понятна -- надо нарисовать две "восьмёрки" друг под другом, и для каждого 0<=t<=1/3 построить отображение первой на вторую. Левая окружность отображается тождественно. Точки дуг [0,t]U[1-t,1] правой переходят в общую точку нижних окружностей. Оставшаяся окружность [t,1-t] "раздувается" до единичной и отображается вниз.

(6 Ноя 0:31) falcao

Это даёт представление, но не даёт возможности написать формулой (это выглядит сложной задачей).

А для обратной композиции как построить в таких же терминах гомотопию?

(7 Ноя 4:38) numerist

@numerist: формулы написать можно: надо взять два единичных отрезка, каждый из которых пробегает своя переменная. Скажем, x и y. После этого всё легко написать, только это заведомо нигде не будет использовано.

По поводу второй композиции: я выше её описывал. Попробуйте там аналогичное семейство отображений построить.

(7 Ноя 16:39) falcao

Пусть фигура O-O расположена на плоскости так, что центы окружностей лежат на оси х. Обратная композиция выглядит так: сначала отрезок в O-O стягивается в точку (получается восьмерка), потом видимо снова для каждого t из [0,1/3] в правой окружности точки с координатами [0,t] и [1-t,1] проецируются на х-ось, после чего 1) этот полученный отрезок растягивается до размеров исходного отрезка и 2) правая окружность раздувается до такой степени, что ее длина снова равна 1. Так строится гомотопия?

Насчет формул, там еще точки отрезков надо склеивать, так что всё равно не ясно, как формулы писать.

(8 Ноя 3:05) numerist

@numerist: композицию Вы описали верно. Теперь строим семейство отображений для каждого t из [0,1/3]. При t=1/3 будет то, что описано. При t=0 будет тождественное отображение.

При данном t делается следующее. Рассмотрим отрезок между окружностями. Он единичный. Часть [0,3t] переводим в точку. Дуги правой окружности [0,t] и [1-t,1] склеиваем. Образуется отрезок длиной 1-3t+t=1-2t. Его растягиваем до единичного. Окружность справа длиной 1-2t также растягиваем до единичной.

(8 Ноя 12:13) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×253

задан
3 Ноя 1:15

показан
78 раз

обновлен
8 Ноя 12:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru