Модуль называется неприводимым, если он не имеет нетривиальных собственных подмодулей.

  • Доказать, что всякий неприводимый $%\mathbb C[x]$%-модуль одномерен (я полагаю, тут опечатка, и имеется в виду, что он имеет ранг 1? или соответствующее векторное пространство имеет размерность 1?)
  • Привести пример $%\mathbb C[x]$%-модуля, который не является прямой суммой неприводимых модулей.

задан 3 Ноя 6:55

@Slater: переменная x действует как линейный оператор. Он над C имеет собственный вектор. Поэтому есть одномерное инвариантное подпространство. В неприводимом случае оно совпадает с пространством.

Для второго годится недиагонализируемая матрица. Скажем, (0 1 // 0 0). То есть на C^2 с базисом e1, e2 переменная x действует по правилу xe1=0, xe2=e1.

Здесь чистая линейная алгебра получается при пересказе.

(3 Ноя 12:48) falcao

Почему из недиагонализуемости такой матрицы следует, что соотв. модуль не является прямой суммой неприводимых подмодулей?

(3 Ноя 20:44) Slater

@Slater: потому что если есть прямая сумма двух одномерных подмодулей, то слагаемые инварианты относительно действия оператора (потому что подмодули), и тогда матрица в подходящем базисе диагональна.

Здесь, кстати, один язык описания в точности эквивалентен другому, то есть ничего нового по сравнению с недиагонализируемыми матрицами в формулировке нет.

(4 Ноя 0:06) falcao

Что-то непонятно, почему матрица в подходящем базисе диагональна. Она в подходящем базисе блочно-диагональна, но кто сказал, что ограничения на инвариантные подпространства диагонализуемы?

И насчет терминологии: в первом пункте же нельзя сказать, что модуль имеет ранг 1? Потому что никто не гарантировал, что он свободный. Это вообще стандартно говорить, что C[x]-модуль имеет размерность 1, разумея, что соответствующее векторное пространство имеет размерность 1?

(4 Ноя 0:22) Slater

@Slater: здесь оба пространства инварианты, и мы имеем дело с их прямой суммой. То есть векторы, порождающие эти пространства, переходят в пропорциональные себе. Это и даёт диагональность. В общем случае нужна инвариантность дополнения, но здесь она есть.

Насчёт правомерности употребления термина "ранг" я ничего не могу сказать. Если этому понятию где-то давалось определение, то так говорить можно. А если не давалось, то нельзя. То есть надо предыдущий материал смотреть.

(4 Ноя 0:51) falcao

"То есть векторы, порождающие эти пространства, переходят в пропорциональные себе" Почему это? Если инвариантные подпространства не одномерны, то это ведь может не выполняться.

(4 Ноя 1:03) Slater

@Slater: так ведь в первой части задачи было установлено, что неприводимые модули одномерны. Далее этим и воспользовались.

(4 Ноя 1:25) falcao

А, мы даже работаем в случае, когда V=C^2, и любое нетривиальное подпространство одномерно.

На моём языке: если M=(V,T) где V=C^2, T - умножение на (0 1//0 0) является прямой суммой неприводимых (одномерных) подмодулей, то каждый подмодуль даёт инвариантное одномерное подпространство C^2. Пусть v,w - ненулевые векторы из каждого из этих подпространств. Тогда они образуют базис C^2, в котором оператор Т диагонален. Но это противоречит тому, что Т не диагонализуем (т.к. в стандартном базисе матрица Т уже в ЖНФ, которая не диагональна).

(4 Ноя 2:22) Slater

@Slater: по-моему, сказанное Вами по содержанию ничем не отличается от того, что говорилось раньше.

(4 Ноя 2:26) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
3 Ноя 6:55

показан
40 раз

обновлен
4 Ноя 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru