Для каких натуральных $%M$% существуют две различные тройки натуральных чисел $%a_1\le a_2\le a_3$% и $%b_1\le b_2\le b_3$% такие, что $%a_1+a_2+a_3=b_1+b_2+b_3$%, $%a_1a_2a_3=b_1b_2b_3$% и $%\max{\{a_3,b_3\}}=M$%?

задан 3 Ноя 11:48

1

Вроде для всех составных. То, что для простых не получится, очевидно, а вот для составных какой-то одной общей конструкции найти не вышло.

(3 Ноя 14:17) knop

@knop: Общей конструкции я тоже не придумал, но отдельно для нечётных и для чётных (чётно-чётных и чётно-нечётных) нашёл.

(3 Ноя 14:28) EdwardTurJ

@EdwardTurJ - у меня получилось что-то сделать для всех, кроме нечётных квадратов. Для них нужна отдельная конструкция. Для всех остальных вроде годится конструкция с $%a_1=2$% и $%b_1=3$%.

(3 Ноя 15:24) knop

@knop: У меня для всех нечётных конструкция с $%a_1=1$%, а $%b_1$% - не фиксированное.

(3 Ноя 15:35) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Уже говорилось, что M не простое: в противном случае у другой тройки одно из чисел такое же, а тогда два других числа в той и другой тройке дают ту же сумму и то же произведение. Такие пары совпадают, то есть тройки тоже совпадут.

Составные числа 4 и 6 в качестве M не годятся, что легко проверяется перебором. Покажем, что все составные M>=8 годятся. Прежде всего, тройки 2,6,6 и 3,3,8 дают сумму 14 и произведение 72. Далее, пусть M=2p, где p>=5 простое (слово "простое" здесь можно заменить на "нечётное"). Тогда годятся тройки 2,p,3(p+1)/2 и 3,(p+1)/2,2p. Пусть теперь M принимает какое-то другое составное значение помимо рассмотренных выше. Представим M в виде произведения двух чисел, каждое из которых не меньше 3. Заметим, что тройки вида (a+1)b, (b+1)c, (c+1)a и a(b+1), b(c+1), c(a+1) всегда имеют ту же сумму и произведение. Если a < b < c, то число M=(b+1)c будет строго наибольшим среди шести. Поэтому, представляя M в виде (b+1)c, где 3<=b+1<=c, мы далее полагаем a=1 и получаем пример.

ссылка

отвечен 3 Ноя 18:29

1

Мой вариант:

$%M=(2n-1)(2m-1)$%, $%n\ge m>1$%:

$%\left(1,(2m-1)n,m(2n-1)\right)$%; $%\left(m,n,(2m-1)(2n-1)\right)$%.

$%M=4n-2$%, $%n>2$%:

$%\left(2,2n-1,3n\right)$%; $%\left(3,n,2(2n-1)\right)$%.

$%M=4n$%, $%n>1$%:

$%\left(2,2(n+1),3n\right)$%; $%\left(3,n+1,4n\right)$%.

(3 Ноя 21:20) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ: хорошие варианты. Второй у меня тоже был, а других в явной форме не было.

У меня всё решилось после осознания того, как выглядят все решения (и что их очень много). Равным произведениям соответствует матрица 3x3; тройки -- произведения строк и столбцов. Условие равных сумм, после перестановки элементов матрицы, переписывается как равенство определителя нулю. Это полное описание, а дальше уже достаточно повылавливать частные случаи. Я взял матрицу (1 1 1 // a b c // a+1 b+1 c+1), и её молний оказалось достаточно.

Задача вкусная оказалась.

(3 Ноя 23:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×671
×40

задан
3 Ноя 11:48

показан
312 раз

обновлен
3 Ноя 23:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru