|
Даны медианы, необходимо найти сторону треугольника на которую они не падают. задан 26 Апр '13 21:04 
milib |
|
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $%2:1$%, считая от вершин. Поэтому можно осуществить такой построение: взять отрезки длиной в $%2/3$% медиан и построить треугольник с произвольно взятым углом между этим сторонами. Ясно, что третья сторона может принимать разные значения. Далее всё достраивается до треугольника с заданными длинами двух медиан. Если был построен треугольник $%GBC$%, то на лучах, противоположных $%GB$% и $%GC$% выбираем точки $%B_1$% и $%C_1$% такие, что $%GB_1=GB/2$%, $%GC_1=GC/2$%. После чего достраиваем до треугольника $%ABC$%, где $%A$% есть точка пересечения лучей $%BC_1$% и $%CB_1$%. В получившемся треугольнике отрезок $%B_1C_1$% будет средней линией, а $%G$% -- точкой пересечения медиан. Фактически, это описание того, как построить треугольник по заданным длинам двух медиан и третьей стороне. отвечен 26 Апр '13 22:25 
falcao |
|
Двух медиан не достаточно для однозначного задания треугольника... отвечен 26 Апр '13 21:58 
all_exist Как тогда это доказать, недостаточность?
(26 Апр '13 22:01)
milib
Например, используя метод координат... Пусть начало координат - есть точка пересечения медиан... Расположите одну медиану на оси икс, например, A(2a;0), M(-a;0)... Вторая медиана располагается произвольно B(2b;2c), N(-b;-c)... Покажите, что вершина С определяется однозначно при любых b, c...
(26 Апр '13 22:06)
all_exist
|
|
Пусть имеем треугольник $%ABC.$% Обозначим стороны и медиани $%BC=a, AB=c, AC=b, AA_1=m_a, BB_1=m_b, CC_1=m_c.$% На продолжении медиани $%АА_1$% построим отрезок $%A_1D=AA_1.$% По признаку параллелогаммы четырехугольник $%ABDC$% параллелограмма. Согласно свойстве диогоналей получаем $%AD^2+BC^2=2AB^2+2AC^2,$% отсюда формула $%4{m_a}^2=2b^2+2c^2-a^2.$% По аналогии $%4{m_b}^2=2a^2+2c^2-b^2, {m_c}^2=2b^2+2a^2-c^2.$%Отсюда получаем формулы для сторон $%a^2=\frac{4}9(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2),b^2=\frac{4}9(2m_a^2+2m_c^2-m_b^2), c^2=\frac{4}9(2m_b^2+2m_a^2-m_c^2).$% Значит две медианы не достаточны. отвечен 26 Апр '13 22:07 
ASailyan Спасибо всем большое!
(27 Апр '13 8:18)
milib
|
|
А если задан угол, из которого выходит одна медиана? отвечен 10 Дек '14 12:59 
олексій Угла и одной медианы недостаточно. @олексій: новые задачи пишите в новых вопросах.
(10 Дек '14 13:05)
EdwardTurJ
|