Сначала определение.

Определение. Пусть функция $%f(x,y)$% определена при всех $%x \in [a;b]$% и одновременно при всех $%y \ne y_0$% из некоторого множества $%\mathbb{Y}$%, где $%y_0$% - правая предельная точка множества $%\mathbb{Y}$%. Если существует действительное число $%A$% такое, что для произвольного числа $%\varepsilon >0$% существует не зависимое от $%x$% число $%\delta=\delta(\varepsilon) >0$% такое, что для произвольного $%x \in [a;b]$% и одновременно для произвольного $%y \in (y_0;y_0+\delta)$% имеет место неравенство $%|f(x,y)-A|< \varepsilon$% , то будем говорить, что функция $%f(x,y)$% равномерно стремится к числу $%A$% относительно $%x$% на отрезке $%[a;b]$% при $%y \to y_0+0$%.

Верна ли следующая лемма?

Лемма. Пусть:

1) функция $%f(x,y)$% равномерно стремится к нулю относительно $%x$% на отрезке $%[a;b]$% при $%y \to y_0+0$%;

2) функция $%g(y)$% определена при всех $%y \ne y_0$% из множества $%\mathbb{Y}$% (функция $%g(y)$% может быть ограничена, а может быть не ограничена сверху, но она ограничена снизу нулем, т.е. все ее значения не отрицательны);

3) для каждого фиксированного значения $%x \in [a;b]$% существует предел $%\lim \limits_{y \to y_0+0} f(x,y)g(y)=0$%.

Верно ли, что из этого следует, что функция $%f(x,y)g(y)$% равномерно стремится к нулю относительно $%x$% на отрезке $%[a;b]$% при $%y \to y_0+0$% ?

P.S. Если функция $%g(y)$% ограничена сверху, то доказательство леммы простое. А как быть, когда функция $%g(y)$% не ограничена сверху?

задан 4 Ноя '18 18:24

Допустим, функция $%g(y)$% ограничена сверху числом $%C$%. Из пункта 1 леммы получаем неравенство $%|f(x,y)|< \varepsilon$%. Тогда $%|f(x,y)g(y)|< \varepsilon g(y)<C \varepsilon$%, из чего уже следует утверждение леммы.А что делать, когда функция $%g(y)$% не ограничена сверху, не понятно.

(4 Ноя '18 19:18) Witold2357
10|600 символов нужно символов осталось
3

Что если начать с задания функции h(x,y)=f(x,y)g(y), которая бы не стремилась к нулю равномерно? Положим y0=0, Y0=(0,1), A=0, [a,b]=[1,2]. Для каждого y из (0,1) рассмотрим функцию от x на отрезке, беря её кусочно-линейной непрерывной. А именно, она равна 0 на [1,2-y], а на отрезке [2-y,2] она на концах равна 0, в середине отрезка (то есть при x=2-y/2) равна 1, а на половинках последнего отрезка линейна.

При любом x имеет место стремление к нулю при y->0 справа. Равномерного стремления к 0 нет, так как при сколь угодно малом положительном y найдётся точка x из отрезка, где значение h(x,y) равно 1.

Осталось взять f(x,y)=yh(x,y) и g(y)=1/y. Тогда |f(x,y)|<=y равномерно стремится к нулю. Все условия леммы выполняются.

ссылка

отвечен 4 Ноя '18 19:48

большое спасибо!

(4 Ноя '18 21:00) Witold2357

Разрешите еще один вопрос не касающийся условия задачи. Правильно ли я понимаю, что предложенная Вами функция $%h(x,y)$% такова, что при любом фиксированном $%x$% при $%y \to +0$% функция $%\frac{h(x,y)}{y^{2018}}$% стремится к нулю? Просто удивительная функция!

(5 Ноя '18 3:48) Witold2357
1

@Witold2357: да, правильно. В точке x=2 функция h всегда нулевая, а для прочих фиксированных x, при достаточно малых y > 0, функция h обнуляется. Похожие примеры часто возникают для случая функциональных последовательностей -- когда вместо параметра y присутствует номер n.

(5 Ноя '18 3:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×687
×450
×256
×235

задан
4 Ноя '18 18:24

показан
122 раза

обновлен
5 Ноя '18 3:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru