Пусть $%p:E\to B, e_0\to b_0$% - накрытие с линейно связным накрывающим пространством.

$%\pi_1(B,b_0)$% действует на $%p^{-1}(b_0)$% поднятиями петель. Это дает гомоморфизм $%\phi: \pi_1(B,b_0)\to Perm(p^{-1}(b_0))$%. Просят выразить $%p_\ast(\pi_1(E,e_0))$% через $%\phi$%. Как это сделать? Или хотя бы какой ответ?

задан 4 Ноя 23:58

изменен 4 Ноя 23:59

Похоже на то, что это ядро ф.

(5 Ноя 0:10) falcao

Рассмотрим представителя элемента ядра. Он действует тривиально на каждом элементе слоя, т.е. если дана точка в слое, то поднятие представителя в этой точке есть петля в этой точке. В частности, это верно для точки e_0. Согласно пункту с http://i97.fastpic.ru/big/2018/1104/c9/537821f73addb018c4e1293219a295c9.png это значит, что элемент ядра лежит в p со зведочкой. Обратно, рассмотрим элемент p со звездочкой. По тому же пункту с, его представитель поднимается до петли в e_0. Т.е. взятый элемент действует тривиально на e_0. Но как доказать, что он действует тривиально на других элементах слоя?

(5 Ноя 0:27) numerist

Или по ссылке e_0 - любая точка в p^{-1}(b_0), и тогда взятый элемент действует тривиально на всех элементах p^{-1}(b_0)?

Но тогда линейная связность вообще не нужна?

(5 Ноя 0:47) numerist

@numerist: я думаю, надо использовать условие линейной связности накрытия, и выбрать путь, соединяющий e0 c другим элементом слоя. Проектируя этот путь, получаем петлю в B. С её помощью надо показать, что действия на других элементах тоже тривиальны. Там что-то типа сопряжения должно получиться.

(5 Ноя 2:22) falcao

Я тоже думал про сопряжение и соединение точек, но я не вижу, что не так с моим аргументом. В теореме же действительно берется произвольная точка слоя.

(5 Ноя 2:33) numerist

@numerist: я так понимаю, что в формулировке точка e0 зафиксирована, хотя применять теорему можно и к любой другой из точек. По-моему, там должно работать соображение о том, что при переносе начальной точки получается сопряжение, и тот путь, который возникает из линейной связности, действительно нужен. Ядро инвариантно относительно сопряжений, и это гипотетически должно работать (но я детально на уровне обозначений не продумывал).

(5 Ноя 2:55) falcao

Но если применять теорему можно и к любой другой из точек (несмотря на то что e_0 зафиксирована), то зачем что-то соединять путями и работать с сопряжениями, если из теоремы всё и без этого следует?

(5 Ноя 2:58) numerist

@numerist: если Вы заменяете e0 на точку e0' с тем же образом b0, то ф остаётся тем же, но p_ast от группы с выбранной точкой e0 меняется на p_ast от группы с точкой e0'. Тут-то и нужно сопряжение п1(E,e0) с п1(E,e0') в группоиде.

(5 Ноя 3:07) falcao

Понятно, тогда можно применить лемму http://i97.fastpic.ru/big/2018/1105/ba/5f591ab23f8bc80daf0c2a3a54700bba.png

Но получается чёрти-что. Возьмем элемент из $%H_0=p_\ast(\pi_1(E,e_0))$%. Хотим доказать, что он при действии на e_1 переводит e_1 в себя (для других e_i аналогично будет). По лемме, этот элемент имеет вид [a] [f] [a]^{-1} где f из $%H_1=p_\ast(\pi_1(E,e_1))$%, a=альфа из леммы. При действии [a]^{-1}, e1 переходит в e0. Но потом неясно куда переходит e0 при действии [f].

(5 Ноя 4:07) numerist

@numerist: у меня сейчас голова уже не свежая, поэтому на формально-абстрактном уровне она сейчас не работает. Завтра можно будет попытаться это осмыслить -- там, по идее, не должно быть сложно.

(5 Ноя 4:11) falcao

@numerist: я сейчас всё-таки представил себе это дело "живьём". Там не ядро ф будет, а стабилизатор одного элемента. То есть перестановке не надо быть тождественной -- достаточно, чтобы она b0 переводила в себя. Тогда доказывать ничего не надо. Иными словами, p_ast есть прообраз стабилизатора b0 как подгруппы в Perm при отображении ф.

(5 Ноя 5:24) falcao

Ничего не понял. Во-первых, наверно Вы имели в виду стабилизатор e0. Во-вторых, стабилизатор e0 - это подгруппа фундаментальной группы базы накрытия, почему он будет подгруппой Perm(p^{-1}(b0))?

Я вижу, что $%p_\ast(\pi_1(B,b_0))=Stab_{\pi_1(B,b_0)}(e_0)$%, но тут не фигурирует phi.

(5 Ноя 5:47) numerist

@numerist: конечно, я имел в виду стабилизатор точки e0, но я рассматривал его как подгруппу в Perm, то есть в группе перестановок. Это все перестановки, при которых e0 остаётся на месте. Прообразом этой подгруппы при ф и будет p_ast(п1(E,e0)). У Вас в формуле p_ast применяется не к тому объекту (ср. текст вопроса).

(5 Ноя 6:26) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827
×253

задан
4 Ноя 23:58

показан
62 раза

обновлен
5 Ноя 6:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru