Рассмотрим накрытие восьмерки таким графом http://i98.fastpic.ru/big/2018/1105/3d/3579fd215fc93bc695c9a7f5fe0d0b3d.png

Является ли гомоморфизм $%\pi_1(B,b_0)\to Perm(p^{-1}(b_0))=S_5$% сюръективным?

задан 5 Ноя 2:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, да. Элементам x,y соответствуют подстановки на множестве вершин, которые этими буквами и обозначим: x=(12345), y=(123)(45). Сюръективность означает, что эти элементы порождают S5. Это так, поскольку yx^{-1}=(35). Также x^2=(35241). А это то же, что (12) и (12345) с точностью до переобозначений. Такие элементы порождают всю симметрическую группу.

ссылка

отвечен 5 Ноя 3:03

Разве второй соответствует не (15)(234), если нумеровать вершины графа слева направо 1-2-3-4-5?

Кроме того, второй вопрос 'является ли это сюръекцией на A5', так что по-видимому на S5 это не должно быть сюръекцией.

(5 Ноя 3:13) numerist

@numerist: я брал ту нумерацию вершин, которую сам ввёл в примере подгруппы порядка 5. Я думал, Вы её и взяли. Если нумеровать по порядку, то отличие получается с точностью до перестановки символов.

Подстановка (123)(45) нечётна, поэтому образ не лежит в A5. Вопрос про A5 имеет смысл для похожего графа -- если цикл длиной 2 заменить на две петли. Тогда (abcde) и (abc) порождают всю группу A5, что легко вывести из факта её простоты, не делая вычислений.

(5 Ноя 4:10) falcao

Так Вы же такую же нумерацию и ввели в том примере? Цитирую: 'Вершины графа: 1, 2, 3, 4, 5'.

В любом случае, при стандартной нумерации по порядку получается yx^{-1}=(14). Следуя тому же принципу, (14) и (35241) должны быть 'тем же, что и (12345) с точностью до переобозначений'. Переобозначения должны менять местами 2 и 4. После переобозначений получаем (12) и (35421). Потом меняем местами 1 и 2, получаем (12), (35412). Потом меняем местами 5 и 4, получаем (12), (34512). Это так работает? В каком смысле получается то же самое? И почему?

(5 Ноя 5:24) numerist

@numerist: зачем прослеживать, какой символ во что переходит? Нет никакой разницы, берём мы 12345, или abcde, или 24153. Чтобы ничего не менять, давайте считать, что цикл длиной 2 соединяет 4 и 5 (как было у меня в приводимом примере). Если Вам для каких-то причин нужен другой порядок вершин, но переобозначьте. Тогда, если вместо 1 взять Ъ, то во всех обозначениях надо сделать такую же замену.

(5 Ноя 5:51) falcao

'зачем прослеживать, какой символ во что переходит' Затем, что мне не очевидно, что (35) и (35241) - это то же самое что (12) и (12345) с точностью до переобозначений.

Так и в каком смысле это 'то же самое'?

(5 Ноя 5:55) numerist

@numerist: никогда не угадаешь, что нужно объяснять, а что самоочевидно :)

Есть стандартный факт, что (12) и (12345) порождают S5 (и это обобщается на все симметрические группы). Существенно здесь то, что с символов транспозиции начинается цикл. То же самое (то есть порождение всей группы) будет для любых элементов вида (ab) и (abcde). В частности, это верно для (35) и (35...), где далее 1, 2, 4 идут в любом порядке.

(5 Ноя 6:04) falcao

Так понятно. А есть какой-нибудь референс, где можно найти доказательство этого факта (что такие элементы порождают Sn)?

(5 Ноя 8:12) numerist

@numerist: такого рода вещи чаще всего даются в книгах как упражнения. Но там просто всё доказывается. Sn порождена транспозициями (если разрешено переставлять на полке любые два тома, то всё можно расставить в заданном порядке). Из этих же соображений ясно, что достаточно переставлять два соседних тома. Сопрягая (12) степенями (12...n), мы получаем все транспозиции вида (i,i+1).

(5 Ноя 14:02) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827
×253

задан
5 Ноя 2:52

показан
61 раз

обновлен
5 Ноя 14:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru