Доброго времени суток! Тем кто не слышал о гипотезе кратко расскажу суть. Берём любое натуральное число (n). Если оно чётное, то делим на 2, иначе умножаем на 3 и прибавляем 1. Так повторяем сколько возможно раз, пока не достигнем цикла (но может быть число стримится к бесконечности и мы не достигнем цикла). Гипотеза состоит в том, что любое натуральное число попадает в цикл 4 2 1.
У меня есть подход к решению задачи. Сперва докажем отсутствие других циклов. Для этого надо решить уравнение:
(2^i)x = 3x + 1,
где х и i -- натуральные числа (2^i - 3)x = 1
х = 1/(2^i - 3)
Так как х -- натуральное, то решение только 1
х = 1/(2^2 - 3)
х = 1
i показывает (количество элементов цикла - 2).
Тогда цикл выглядит так: n = 2^i, затем n/2 (повторить i-1 раз), после получаем х, а затем умножаем на 3 и прибавляем 1, замыкая круг. То есть 4, затем 2, затем 1, затем 4...
Из этого следует, что есть только 1 цикл.
Теперь осталось доказать, что любое число попадает в этот цикл (а не стремиться к бесконечности). Переформулируем условия задачи:
Пусть мы, начиная с 1, должны применять одно из 2 действий: либо умножать на 2, либо вычитать 1 и делить на 3. При этом, применять действие можно только если выходит натуральное число, которого мы не получали ранее. Осталось доказать, что действуя так мы получим все натуральные числа. Вот здесь мне нужна Ваша помощь. Может кто знает как дальше доказывать?

задан 5 Ноя 17:32

@Mark: Вы рассматриваете пример простейшего цикла, где один раз происходит преобразование 3x+1, а все остальные случаи -- это деление на 2. Такой цикл в самом деле один, но отсюда не следует отсутствие других циклов. Представьте себе, что мы применили 3x+1, потом несколько раз делили на 2, потом ещё раз применили 3x+1, потом сколько-то раз делили на 2, и вернулись к исходному числу. Здесь также возникает уравнение, которое надо исследовать отдельно. А в общем случае может быть сколько угодно преобразований 3x+1 внутри цикла.

Переформулировка с обратными действиями известна, но она не проще.

(5 Ноя 18:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×246
×20
×6

задан
5 Ноя 17:32

показан
32 раза

обновлен
5 Ноя 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru