Пусть функция f: [0, 2] → R непрерывная и неубывающая. Доказать, что $$ \int_{-1}^1 f(x^2+1) dx\geq \int_0^2 f(x)dx$$

задан 7 Ноя 22:12

изменен 7 Ноя 22:30

Здесь не помогут формулы Бонне?

(7 Ноя 22:12) Campobasso

@Campobasso: нельзя пропускать знаки дифференциала в записи!

(7 Ноя 22:13) falcao

@falcao, Вы правы. Исправила

(7 Ноя 22:30) Campobasso
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\int\limits_{-1}^1 f(x^2+1) dx = 2\int\limits_0^1 f(x^2+1) dx = \int\limits_0^1 \frac{f(y+1)}{\sqrt{y}} dy = \int_0^1 f(y+1) dy + \int_0^1 f(y+1) (\frac{1}{\sqrt{y}}-1) dy $%

$% \ge \int\limits_0^1 f(y+1) dy + f(1) \int\limits_0^1 (\frac{1}{\sqrt{y}}-1) dy = \int\limits_0^1 f(y+1) dy + \int\limits_0^1 f(1) dy\ge \int\limits_0^2 f(x) dx $%

ссылка

отвечен 7 Ноя 23:20

3

Так немного короче: $$\int\limits_{-1}^1 f(x^2+1) dx = 2\int\limits_0^1 f(x^2+1) dx\ge 2\int\limits_0^1 f(2x) dx = \int_0^2 f(x) dx$$

(7 Ноя 23:30) EdwardTurJ

По-моему в предпоследнем равенстве просто f(1) должно быть

(8 Ноя 0:02) Campobasso
1

без разницы ибо $%f(1) \equiv \int\limits_0^1 f(1) dy $%

(8 Ноя 0:07) abc

@abc, @EdwardTurJ спасибо!

(8 Ноя 1:21) Campobasso
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,719

задан
7 Ноя 22:12

показан
73 раза

обновлен
8 Ноя 1:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru