Найти наименьший положительный корень уравнения 1/sqrt(x+1) - sin(x) = 0 с помощью метода простой итерации с точностью 0.5 * 10^-5 Хочется узнать про то, как выбирается начальное приближение и достаточные условия сходимости метода. Могу ли я перейти к уравнению x = f(x) с помощью прибавления и вычитания к обоим частям? x = 1/sqrt(x+1) + x - sin(x)

задан 8 Ноя 19:44

изменен 8 Ноя 20:48

Нужна помощь.

(8 Ноя 22:31) EstoneCold

@EstoneCold: я думаю, этой информации по Вашему вопросу вполне достаточно. Если было уравнение f(x)=0, то рассматривать x=x+f(x) часто бывает недостаточно, но x=x+kf(x) уже проходит для подходящей константы k. Она подбирается через оценки производной (я проверял для k=1/2 или k=-1/2 -- не помню, с каким знаком, но там всё сходилось). Начальное значение здесь вроде можно брать x0=0.

(8 Ноя 22:44) falcao

@falcao ну условие |фи'(x)| < 1 на [0, pi/2] выполняется, это не значит что все-таки x = x + f(x) достаточно? Еще такой вопрос, мне так же нужно посчитать априорную оценку числа итераций через логарифм, в итоге она вышла ~100, а реальных итераций порядка 8, такое возможно без ошибок?

(8 Ноя 22:48) EstoneCold

@EstoneCold: для метода сжимающих отображений, который лежит в основе, нужна для оценки константа q, строго меньшая единицы. Просто < 1 может не быть достаточно. То есть надо заметить, что f'(x) возрастает, и производная там оценивается числом типа 0,8 или даже 0,72.

Что касается оценок, то там может получиться неточное значение. Ведь 100 означает, что мы не позже 100 шагов придём к ответу. А на практике может вполне хватить и числа шагов порядка 10. Тут всё как раз нормально. Если производную оценить поточнее, то 100 можно, наверное, снизить.

(8 Ноя 23:00) falcao

@falcao я так и не понял, могу ли я все-таки записать без лямбды, через x = x + .., если достаточное условие сходимости выполняется? первая производная в таком случае монотонно возрастает на 0,pi/2 и при pi/2 = 0.878698, это самая точная оценка производной, но для чего она потом используется, если не для априорной оценки количества итераций?

(8 Ноя 23:03) EstoneCold

@EstoneCold: в данном случае, если Вы возьмёте уравнение x=1/sqrt(x+1) + x - sin(x), то модуль производной правой части не превосходит даже 1/2, то есть оценка получается хорошей. Её в таком виде и надо подставить в формулы для оценки числа итераций. Думаю, что тут уже получится не 100, а поменьше, то есть оценка станет ближе к реальной.

(8 Ноя 23:38) falcao

@falcao я так и делал, производная такой функции при pi/2 = 0.878698, и априорная оценка дала результат даже 110, log0.878698((0.5*10^-5 * (1 - 0.878698))/(x1=1 - x0=0)) = 110

(8 Ноя 23:45) EstoneCold

@EstoneCold: а Вы возьмите интервал от 0 до 1 (вместо п/2), и оценка производной сильно улучшится. Её модуль будет максимален при x=0.

(9 Ноя 0:03) falcao

@falcao Да, вы правы, тогда априорная оценка снизилась аж до 10, спасибо вам. А какой из методов в среднем должен сходиться? Я вроде бы читал, что они как-то связаны

(9 Ноя 6:17) EstoneCold

@EstoneCold: да, здесь проходит хорошая оценка, поэтому из неё и надо исходить. Заметьте, что подготовительный этап в таких задачах часто не до конца "алгоритмичен", и кое-что приходится подбирать.

Насчёт методов я не понял сути вопроса. О каких методах тут речь, и что спрашивается по поводу сходимости?

(9 Ноя 9:35) falcao

@falcao Некорректно сформулировал вопрос и не полностью, спешил. Я решал эту задачу методом хорд и простой итерации, меня интересует какой из них в среднем будет за меньшее число итераций находить корень с одинаковой точностью

(9 Ноя 10:30) EstoneCold

@EstoneCold: я понял, что Вы спрашиваете. В книгах по численным методам обычно бывает информация о сравнении методов. Но тут многое зависит от начальных условий и многих других вещей (типа степени сжатия). Поэтому совсем очевидных соображений на этот счёт, наверное, нет.

(9 Ноя 10:38) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×80

задан
8 Ноя 19:44

показан
46 раз

обновлен
9 Ноя 10:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru