Представимо ли число 444...4 (всего 800 четверок, других цифр нет) в виде a^2+ab+b^2, где a и b целые?

задан 8 Ноя 20:11

2

Здесь a^2+ab+b^2 делится на 11. Такое возможно только если a,b одновременно делятся на 11 (что следует из того, что -3 не является квадратом по модулю 11). Тогда число делится и на 11^2. Но 44...4/11=404...04 с 400 четвёрками на 11 не делится в силу известного признака.

(8 Ноя 22:55) falcao

@falcao Спасибо большое! Теперь понятно стало как это решать

(9 Ноя 0:21) EXODUS

@falcao: Можете немного приоткрыть тайны математики такому как я, зачем мы берем число 11 именно, было бы здорово, если вы смогли бы, пожалуйста, расписать более подробно решение... Сначала я думал, что разобрался, а сейчас понял, что нет.

(11 Ноя 23:59) EXODUS

@EXODUS: тут для рассмотрения подходит простое число p, не представимое в виде a^2+ab+b^2, и такое, что 44...4 делится на p. Анализ небольших значений этого многочлена даёт число 11, про которое далее этот факт проверяется.

Тут дело в том, что числа рассматриваемого вида ведут себя аналогично суммам двух квадратов, а там критерий представимости хорошо известен. Здесь он тоже имеется.

(12 Ноя 0:25) falcao
1

@falcao:Спасибо, теперь понятно стало.Еще один момент, а можно использовать для решения поставленной задачи следующее предположение? Что норма числа Эйзенштейна не может давать остаток 2 при делении на 3

(12 Ноя 1:11) EXODUS

@EXODUS: для того числа, которое дано в условии, этот аргумент вполне пригоден. Он проще того, который я привёл. Но использование остатка от деления на 11 действует для более широкого класса "похожих" чисел. Например, если бы четвёрок было 801, то одно рассуждение проходит, а другое уже нет.

(12 Ноя 1:20) falcao

@falcao: Спасибо большое, теперь все по полочкам расставлено!

(12 Ноя 23:30) EXODUS

@falcao: Вы писали, что 404...04 с 400 четвёрками на 11 не делится в силу известного признака. Под известным признаком Вы полагали признак делимости на 11? Признак: На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11. Спрашиваю на всякий случай.

(13 Ноя 21:36) EXODUS

@EXODUS: тут уточнять незачем, потому что признак Вы знаете, и остаётся им воспользоваться. Знакочередующаяся сумма равна 4-0+4-...+4=1600, что на 11 не делится. Это устная проверка, а признак общеизвестный, почему я и написал об этом так коротко.

(13 Ноя 21:48) falcao

@falcao: спасибо большое.

(13 Ноя 21:56) EXODUS
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,083

задан
8 Ноя 20:11

показан
120 раз

обновлен
13 Ноя 21:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru