Какие значения может принимать сумма косинусов внутренних углов треугольника? Как найти все возможные значения такой суммы? Заранее благодарю за наведение на мысль!

задан 8 Ноя 21:30

4

Формула Карно: $$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+\frac rR.$$ И как известно, $%R\ge2r$%.

(8 Ноя 22:11) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, так просто?

(9 Ноя 1:08) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
4

Элементарное решение, конечно, длиннее.

Если $%\alpha,\beta,\gamma>0, \; \alpha + \beta + \gamma = \pi,$% то $%|\alpha - \beta | < \pi - \gamma,$% и $$\sin \frac{\gamma}{2} < \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \le 1,$$ а т.к. $$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = 2\sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2},$$ то $$1 - \cos \gamma = 2\sin^2 \frac{\gamma}{2} < \cos \alpha + \cos \beta \le 2\sin \frac{\gamma}{2},$$ откуда $$1 < \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \le 2\sin \frac{\gamma}{2} + 1 - 2\sin^2 \frac{\gamma}{2} = \frac{3}{2} - 2 \left( \sin \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 \le \frac{3}{2}.$$ Значит, значение суммы, равное 1, не достигается (если не рассматривать вырожденные треугольники с нулевыми углами), а наибольшее значение 3/2 сумма принимает при условии $$\alpha - \beta = \sin \frac{\gamma}{2} - \frac{1}{2} = 0,$$ т.е. для правильного треугольника.

ссылка

отвечен 9 Ноя 4:10

1

@splen, большое спасибо!

(10 Ноя 1:23) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×841
×796
×2

задан
8 Ноя 21:30

показан
79 раз

обновлен
10 Ноя 1:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru