Решите уравнение 3cos(4πx/5)+cos(12πx/5)=2cos(4πx/5)(3+tg^2(πx/5)+2tg(πx/5)). В ответ запишите сумму его корней на отрезке [-13;17].

задан 9 Ноя 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для начала вспомним формулу косинуса тройного угла: $%\cos3\phi=4\cos^3\phi-3\cos\phi$%. Отсюда левая часть уравнения записывается как $%4\cos^3\frac{4\pi x}5$%. Если $%\cos\frac{4\pi x}5=0$%, то $%x$% является решением уравнения. В самом деле, полагая $%y=\frac{\pi x}5$%, замечаем, что если $%\tan y$% не определён, то $%\cos y=0$%, откуда $%\cos2y=2\cdot0^2-1=-1$%, и $%\cos4y=2(-1)^2-1=1$%. У нас же косинус равен нулю, откуда имеем серию решений $%\frac{4\pi x}5=\frac{\pi}2+\pi k$%, то есть $%x=\frac58+\frac54k$%, где $%k$% целое.

Найдём остальные решения, сокращая обе части уравнения на $%2\cos\frac{4\pi x}5$%. Это даст $%2\cos^2\frac{4\pi x}5=(\tan\frac{\pi x}5+1)^2+2$%. Правая часть не меньше 2, а левая не больше. Значит, обе части равны 2. Это значит, что $%\tan y=-1$%, откуда $%\cos y+\sin y=0$%, что влечёт $%\cos2y=0$%. Из этого следует, что $%\cos4y=-1$%, и левая часть на самом деле равна 2, то есть мы имеем решение уравнения. Отсюда возникает вторая серия $%\frac{\pi x}5=\frac34\pi+\pi m$%, то есть $%x=\frac{15}4+5m$%, где $%m$% целое.

Заметим, что серии не пересекаются, так как в первом случае $%\cos4y$% равен нулю, а во втором случае он равен $%-1$%.

Теперь решаем неравенство $%-13\le\frac58+\frac54k\le17$%. Это даёт после упрощений $%-10\le k\le13$%. Это 24 числа. Просуммируем корни первой серии, то есть числа $%\frac58+\frac54k$%, по $%k$% от $%-10$% до $%13$%. Первое слагаемое, взятое $%24$% раза, даст $%15$%. Для вторых слагаемых будет сумма $%\frac54(-10+\cdots+13)=\frac54(11+12+13)=45$%. Итого $%60$%; запомним это число.

Теперь берём вторую из серий и решаем неравенство $%-13\le\frac{15}4+5m\le17$%. После упрощений будет $%-3\le m\le2$%. Суммирование выражений вида $%\frac{15}4+5m$% в указанных пределах даёт $%\frac{15}2$%. Итого вместе с предыдущей суммой будет окончательное значение $%\frac{135}2$%.

ссылка

отвечен 9 Ноя 3:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×841

задан
9 Ноя 0:12

показан
175 раз

обновлен
9 Ноя 3:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru