Известно, что M(x)- многочлен 11-й степени и M(k)=2^k при всех k=1,2,3,...,12. Найдите M(14).

задан 9 Ноя 0:16

$%16356$%.

(9 Ноя 0:41) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Есть такая известная как бы шуточная задача. Продолжить последовательность: 1, 2, 4, 8, 16. Предлагаемый ответ не 32, а 31. Мотивировка: если даны значения многочлена минимальной степени в последовательных целых точках, то это так и есть.

Действительно, если f(x) -- многочлен n-й степени, то f(x+1)-f(x) будет многочленом (n-1)-й степени (для всех n>=1). Поэтому, беря попарные разности, мы получим здесь сначала числа от 1 до 8, затем от 1 до 4, и после трёх шагов получатся 1 и 2. (Удобно записывать числа в виде условного "треугольника.) Тогда понятно, что "самое естественное" следующее число не 4, а 3, что соответствует многочлену первой степени. Поднимаясь далее вверх, мы после 1, 2, 4 получим уже не 8, а 7. Затем на конце возникнет 15, и в верхней строчке получится 31, как и анонсировалось.

Можно теперь заодно посмотреть, какими будут следующие числа. За 1, 2, 3 идёт 4 (как бы вместо 8). Строчкой выше после 7 появится 11 "вместо" 16, то есть теряется 5. После 15 строчкой ещё выше будет не 32, а 26 с "потерей" 6. И так далее, то есть величина "потери" с каждой строчкой увеличивается на 1.

Применим это к многочлену P(x)=M(x)/2. Тогда за числами 1, 2, 4, ... , 2^11 пойдёт 2^12-1=4095. Отсюда M(13)=8190. Далее, можно заметить, что выше вместо 2^k на очередном месте шло 2^k-(k+1). Это значит, что P(14)=2^13-14=8178, то есть M(14)=16356.

ссылка

отвечен 9 Ноя 1:13

Уже со второго абзаца запутался в рассуждениях, чувствую себя совсем тупым. Почему "самое естественное" число 3? И какое число? Для чего? А дальше нить рассуждений совсем потерял

(9 Ноя 2:38) Иван_Вербл

@Иван_Вербл: не надо придавать значение "художественным" элементам объяснения :) Имелось в виду, что если человек видит числа 1, 2, 4, 8, то он думает, что это степени двойки, и в качестве следующего числа предполагает 16 как самое разумное продолжение. Но если он видит 1, 2, ... , и больше ничего, то самым разумным видится предположение, что перед нами обычный натуральный ряд, и что дальше идёт число 3.

(9 Ноя 2:48) falcao

Похоже, Вы не уловили самую основную идею. Выпишите числа 1, 2, 4, 8, 16 через пробел. Строкой ниже на месте пробелов напишите попарные разности, то есть 2-1=1, 4-2=2, 8-4=4, 16-8=8. Получатся снова степени двойки. Между ними в строке снизу будут разности 1, 2, 4. Ещё ниже -- 1 и 2. Теперь к ним справа допишем 3. И начинаем идти вверх. Что следует за 1 2 4, чтобы следующая разность оказалась равна 3? Это число 7. И так далее, поднимаясь вверх, получаем число 31 справа от 16.

(9 Ноя 2:52) falcao

Спасибо. Это объяснение понял. А как это применимо к конкретной задаче опять не понимаю.

(9 Ноя 3:39) Иван_Вербл

@Иван_Вербл: в условии точно такие же степени двойки, только их больше. Если не лень, то можете составить точно такой же треугольник, и найти всё значения вручную. Алгоритм тот же самый: выписываете попарные разности несколько раз, пока не получите снизу 1 и 2. Справа дописываете после них 3 и 4, а потом поднимаетесь вверх, восстанавливая по одной предыдущие строки.

(9 Ноя 3:47) falcao

ЧТо ряд двоек от 2 в 1 степени до 2 в 12 степени я понял. А суть решения не пойму. Почему для решения мы применяем такую пирамидку. Или я условие не могу осознать. И почему используем - применим это к многочлену P(x)=M(x)/2?

(9 Ноя 3:59) Иван_Вербл

@Иван_Вербл: у меня всё это явно сказано. Если многочлен n-й степени f(x) даёт в последовательных точках какие-то значения, то мы рассматриваем многочлен f(x+1)-f(x), который имеет (n-1)-ю степень, и для него значения будут равны попарным разностям. Рисуя "пирамидку", мы для нижнего ряда, где будут 1 и 2, имеем многочлен первой степени. Его значения в следующих точках -- это 3 и 4 (линейная функция). Зная их, мы дорисовываем "пирамидку" вверх, находя значения в двух следующих точках для многочленов 2-й, 3-й, ... , и так до 11-й степени.

Разделил на 2 я для удобства, чтобы уменьшить числа.

(9 Ноя 4:14) falcao

Почему нижняя строчка это многочлен 1 степени и его значения дальше 3,4?

(9 Ноя 12:59) Иван_Вербл

@Иван_Вербл: потому что в верхней строке дано 12 чисел для многочлена 11-й степени. В следующей будет 11 чисел для многочлена 10-й степени. И так далее. В нижней будет 2 числа для многочлена 1-й степени. Это линейная функция вида ax+b. Её график -- прямая. В точках 1, 2 её значения равны 1, 2. Значит, это f(x)=x, и тогда f(3)=3, f(4)=4.

(9 Ноя 14:33) falcao

Если в верхней строчке 12 чисел для многочлена 11-й степени, последнее число 4096. Тогда следующее 8191, а потом 16369. Почему ответ не 16369? Почему мы берем из второй строчки 8178 и умножаем на 2?

(9 Ноя 14:55) Иван_Вербл

@Иван_Вербл: у меня всё объяснено по этому поводу. Я для удобства с самого начала делю все числа на 2, переходя от M(x) к P(x)=M(x)/2. Тогда надо проследить, сколько теряется в самой последней колонке. Перечитайте этот момент более внимательно, и уловите закономерность. По какой формуле Вы получили 16369, я не знаю. Число 8178 у меня объяснено как 2^13-14, а умножение на 2 в конце -- потому что на 2 вначале поделили.

(9 Ноя 17:47) falcao

не нужно делить на 2, исходный многочлен и тогда получается всё красиво.

(11 Ноя 23:33) Alexandr119

@Alexandr119: что значит "не нужно"? Я вот захотел и поделил, так как счёл удобным (числа в два раза меньше, и за ними следить проще). Справедливо было бы сказать, что на 2 можно не делить, или делить не обязательно.

То, что Вы поместили, есть комментарий к ответу, поэтому я эту запись в статус комментария и перевожу.

(12 Ноя 0:02) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×32

задан
9 Ноя 0:16

показан
408 раз

обновлен
12 Ноя 0:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru