Верно ли, что замыкание $%\overline M ⊂ X$%— множество пределов всех последовательностей из $%M$%.

задан 9 Ноя 3:28

1

@Matrix: в каком пространстве это всё рассматривается?

(9 Ноя 3:32) falcao
1

@falcao, в пространствах с первой аксиомой счетности

(9 Ноя 14:58) Matrix
1

@Matrix: а почему Вы приводите условие в неполном виде? Как и из каких соображений можно было догадаться, что речь идёт о пространствах именно этого типа?

(9 Ноя 17:50) falcao

@falcao, признаю, мой промах

(9 Ноя 17:51) Matrix
1

@Matrix: ответ положительный. См. здесь. Если нужно доказательство (в ту или другую сторону), то его при желании можно рассмотреть.

(9 Ноя 23:39) falcao

@falcao, да, можно, пожалуйста, если Вас не затруднит.

(10 Ноя 1:36) Matrix

@Matrix, "в пространствах с первой аксиомой счетности" .............. То есть, метрических? Или это не обязательно?

(10 Ноя 2:18) Казвертеночка

@Казвертеночка: метрические сюда входят, но это не одно и то же. Класс пространств с первой аксиомой счётности намного шире.

(10 Ноя 4:18) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

В одну из сторон проверка совсем простая. Если точка x принадлежит дополнению замыкания, то это множество открыто, и имеется окрестность точки, не содержащая ни одного элемента из замыкания, а потому и из M. Тогда никакая последовательность точек из M не стремится к x. Здесь ничего кроме общих определений не используется.

В обратную сторону надо использовать существование счётной базы окрестностей U(1), ... , U(n), ... . Там любая окрестность точки x из замыкания содержит точки из M. Это доказывается от противного: если есть окрестность U без точек из M, то её дополнение замкнуто. Тогда оно, содержа M, содержит и замыкание вместе с точкой x -- противоречие.

Теперь строим последовательность m(k), беря в качестве неё любую точку из M, принадлежащую пересечению U(1) n ... n U(k). Проверим, что m(k)->x. Рассмотрим любую окрестность U точки x. Она содержит одну из окрестностей базы, то есть U(n). По построению, m(k) принадлежат U(n) при всех k>=n, то есть все эти члены последовательности лежат в U. Это доказывает сходимость.

Но вообще-то эти стандартные вещи наверняка есть в книгах.

ссылка

отвечен 10 Ноя 2:13

@falcao, спасибо большое!

(10 Ноя 2:17) Matrix
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,719

задан
9 Ноя 3:28

показан
65 раз

обновлен
10 Ноя 4:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru