alt text

1) Что формально означает "identify F with its isomorphic copy", а также для чего это делается, и почему это позволено? Зачем рассматривать образ как подполе? Формально, F и образ F живут в непересекающихся множествах.

2) Как получили $%p(\bar x)=\overline {p(x)}$%, как воспользовались гомоморфностью? Тут используется, что отождествили F с образом или нет, и если да, то как?

alt text

3) Вопрос по Remark: первое предложение из замечания непонятно. Откуда они это взяли? Говорят, что теорема говорит о любом расширении F, в котором есть корень p. Но ведь если прочитать теорему, то она говорит о конкретном расширении F(a).

4) В самом конце доказательства - почему образ содержит F и alpha?

alt text

5) Каким образом теорема 6 влечёт то, что тут написано? И в чём смысл последнего предложения?

alt text

6) Как осуществляется переход к отображению из фактора в фактор? Почему такое отображение индуцируется?

7) Почему ограничение изоморфизма на F - это phi? (Последнее предложение)

задан 9 Ноя 7:06

изменен 9 Ноя 8:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Идея отождествления встречается очень часто, и есть смысл о ней поговорить подробнее.

Вот мы строим поле комплексных чисел. Берём RxR, и на этом множестве определяем операции сложения и умножения. Потом проверяем все аксиомы поля. Но это пока не есть C, так как по замыслу, комплексные числа должны содержать действительные. Пока что это не так: построенное поле содержит изоморфную копию R, но не само R. Поэтому строится отображение ф:R->C по правилу ф(a)=(a,0). Проверяется, что это инъективный гомоморфизм колец с единицей. Поэтому R изоморфно ф(R). Далее говорятся "магические слова" об отождествлении a с (a,0). Формально это разные вещи, поэтому равенство a=(a,0), часто используемое при проверках, логически как бы "незаконно". Но за ним стоит вот какая формальная конструкция.

Мы отказываемся от "сложного" обозначения (a,0) для того, что по сути являет собой действительное число, и заменяем его на старое доброе обозначение a. Формально это значит, что мы сначала из RxR удаляем подмножество ф(R), а потом заменяем его на его биективную копию, то есть на R. Получается множество, которое и обозначается далее через C, а именно, это есть ((RxR) \ ф(R)) U R. Оно находится в биекции с RxR, и операции над парами переносятся на это множество, которое становится полем, содержащим R. Именно для того, чтобы происходило "наследование", то есть имело место включение R < C, всё и делалось.

После этого вполне понятными становятся равенства типа 3+(2,-1)=(3,0)+(2,-1)=(5,-1). Трактовать смысл я не буду, так как он вполне однозначен. Но при этом "незаконное" равенство 3=(3,0) используется в смысле переключениями между одними и другими обозначениями. Формального противоречия тут нет, так как знак + в левой части равенства есть операция в C, а в правой -- операции в RxR. Это разные объекты, если подходить совсем строго, но никто не вводит разных значков для обозначения фактически того же самого.

Или проверка равенства i^2=-1: здесь сначала определяется i как пара (0,1), а потом пишут i^2=ixi=(0,1)x(0,1)=(0x0-1x1,0x1+1x0)=(-1,0)=-1. Смысл: посчитали по-старому, в RxR, а потом перешли к новым обозначениям.

И ещё одна маленькая тонкость: именно потому, что F и образ F "живут" в непересекающихся множествах, отождествление становится возможным. В конструкции выше с объединением, важно то, что оно дизъюнктное. И тут надо заметить, что если вдруг где-то оказалось, что два множества пересекаются, то второе мы заменили бы биективной копией, которая уже ни с чем не пересекается, что всегда возможно в рамках теории множеств.

В рамках Теоремы 3, отождествление означает, что мы берём (K \ ф(F)) U F, на этом множестве задаём операции, копируя их с K, и получаем расширение поля F. При этом фактически f из F отождествляется с ф(f) из K.

2) При гомоморфизме сохраняются сумма и произведение, откуда следует, что многочлен переходит в многочлен, так как он состоит из сумм и произведений. Я здесь вместо "чёрточки" буду писать квадратные скобки. Мы знаем, что [u+v]=[u]+[v], [uv]=[uv]. Отсюда ясно, что [x^3]=[x][x][x]=[x]^3 и т.п. Для многочлена p(x)=ax^2+bx+c с коэффициентами из F мы имели бы [p(x)]=[axx+bx+c]=[a][x][x]+[b][x]+[c]=[a][x]^2+[b][x]+[c]. Далее, у нас элементы поля отождествлены с их образами, поэтому [a]=a, и т.п. Поэтому получается a[x]^2+b[x]+c=p([x]). Это довольно общий приём, который не принято так подробно "расписывать".

3) В замечании говорится о любом расширении поля F, в котором многочлен p(x) имеет корень. Обозначим один из таких корней (их может быть несколько) через alpha. Тогда можно рассмотреть минимальное подполе, содержащее F и alpha. Оно обозначается через F(alpha), но может зависеть от того расширения поля F, которое мы здесь рассматриваем. В Теореме 3 было установлено, что поля с этим свойством существуют. Но их, вообще говоря, много. Поэтому имеет смысл выявить что-то общее у всех таких полей. Оказывается, что то поле F(alpha), которое здесь возникает, всегда одно и то же с точностью до изоморфизма, потому что оно изоморфно факторкольцу F[x]/(p(x)), если p(x) неприводим над F.

В принципе, формулировка теоремы здесь говорит сама за себя, а замечание призвано только правильно расставить "акценты". После того, как этот изоморфизм доказан, можно говорить про F(a) как о самостоятельном объекте, которое не зависит от объемлющего подполя. Но которое временно было нужно для определения F(alpha) как минимального подполя, содержащего F и alpha.

4) При определении ф сказано, что всякому многочлену от x соответствует его значение на элементе alpha. В частности, значением на многочлене x соответствует alpha, то есть оно лежит в образе. Если взять константный многочлен f степени <=0, то есть элемент поля F, то ему соответствует он сам, то есть F также лежит в образе. Тут всё так просто, что легко было догадаться самостоятельно.

5) У одного и того же многочлена может быть много корней (например, в C). Теорема 6 так сформулирована, что она одинаково работает для любого из этих корней неприводимого многочлена. Если в качестве примера взять x^3-2, то для нас его три корня друг от друга отличаются, потому что мы изучали матанализ (то есть теорию континнума, сиречь непрерывного), и в его рамках умеем доказывать, что этот многочлен имеет корень в R. Если представить себе "чистого" алгебраиста, который изучал advanced algebra на Марсе, а матанализа там не преподают, то для него не будет ровно никакой разницы между тремя корнями многочлена x^3-2.

6) Есть совсем простая и стандартная конструкция, которая много раз уже обсуждалась. Напомню, что бывают сравнительно нетривиальные утверждения о каких-то объектах, имеющих разное описание, но устроенных одинаково. Типа того, что R[x]/(x^2+1) изоморфно C. Или типа того, что группа положительных вещественных чисел по умножению изоморфна группе всех действительных чисел относительно сложения. Но бывает и так, что один объект является "точной копией" другого. Типа R и R', где биекция дана в виде r->r'. Тогда доказывать и проверять нечего: если есть операция на R, то ей соответствует "такая же" операция на R' с "такими же" свойствами. И если R -- кольцо, то его копия -- тоже кольцо. Если I -- идеал в R, то I' -- идеал в R'. И что факторкольцо R/I -- это "то же самое", что R'/I'. Конечно, для "буквоедов" можно было бы всё "разжевать", сказав, что классу r+I мы сопоставляем класс r'+I', и что из a+I=b+I следует a-b \in I, что влечёт a'-b'\in I', то есть a'+I'=b'+I'. Значит, индуцированное отображение корректно определено. А потом проверить, что оно является гомоморфизмом колец. И что он инъективен и сюръективен. С моей точки зрения, такие вещи делаться должны, но ОДИН РАЗ на Уровне 0. На Уровне 1 о них можно упоминать как о чём-то очевидном и уже изученном. А на Уровне 2 и выше -- даже упоминать не надо, так как при таком подходе мы никогда не выберемся из "подвала" :) Ясно, что такие вещи надо чувствовать, и при необходимости уметь самостоятельно восстановить все детали. Но это всё уже -- пройденный этап, "давнопрошедшее" время. Я всецело за то, чтобы вещи этого уровня вообще не обсуждались.

7) Это тоже пример вещи, которая должна быть очевидной. Уже установлен изоморфизм между F[x]/(p(x)) и F(alpha) в любой из разновидностей. Из явной его конструкции ясно, что элементы поля F (как классы константных многочленов по идеалу) переходят сами в себя. Далее, у нас есть изоморфизм "точных копий" F[x]/(p(x)) и F'[x]/(p'(x)), где класс элемента f из поля переходит в класс его "двойника" f'. Это и значит, что ограничение на F, рассматриваемое как подполе факторкольца, даёт ф(f)=f'. Утверждение почти тавтологичное, где всё следует из здравого смысла, а проверять приходится только потому, что одно и то же обозначается по-разному.

ссылка

отвечен 10 Ноя 1:36

Вроде "бонусом" Ваш ответ делает понятным тест отсюда: https://bit.ly/2zG8nZB Там тоже, получается, негласно образ заменили на изоморфную копию, и именно это обосновывает почему можно сделать "dropping bars".

Насчет уровня 0, я согласен, но уже "что выросло, то выросло". А именно, если на уровне 0 это не было изучено, то не имеет смысла об этом сожалеть, а имеет смысл изучить это на уровне 2 (это лучше, чем оставлять незаполненный пробел).

Кроме того, я ни в одном источнике (даже уровня 0) не видел, чтобы где-то объяснялись вещи типа 1) или 6). Все считают, видимо, это "интуитивно понятным".

(10 Ноя 23:03) Slater

@Slater: для меня существует принципиальная разница между 1) и 6). Первый вопрос я считаю вполне правомерным, потому что это важная вещь (почти чисто логическая), и она мало где объясняется. Хотя, вроде бы, я сам впервые с этой идеей ознакомился у ван дер Вардена ещё в школьные годы, и на меня это произвело впечатление.

Что касается 6), то такие вещи обычно выносятся в упражнения, причём самые скучные. И изучать надо всё, конечно, в определённой последовательности, а не по принципу "минуя капитализм" (с) :)

(11 Ноя 0:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
9 Ноя 7:06

показан
43 раза

обновлен
11 Ноя 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru