Решить в целых числах:

(x^2 - y^2)^2 = 16y + 1

задан 11 Ноя '18 21:07

1

Можно считать, что $%x>0,y>0$%. тогда $%16y+1=(x^2-y^2)^2\ge((y-1)^2-y^2)^2\ge(2y-1)^2$%,...

(11 Ноя '18 21:36) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Число в правой части отлично от нуля, поэтому является квадратом натурального. Положим $%16y+1=n^2$%. Тогда $%(n-1)(n+1)$% делится на 16, откуда один из множителей делится на 8, то есть $%n=8t\pm1$% при целом неотрицательном $%t$%. Тем самым, $%y=4t^2\pm t$% с тем же выбором знака.

Извлекая корни, имеем $%|x^2-y^2|=8t\pm1$%. Расстояние от $%y^2$% до ближайшего точного квадрата, отличного от него самого, равно $%2y-1$%, откуда $%8t\pm1\ge2y-1=8t^2\pm2t-1$%. Таким образом, для случая $%y=8t+1$% мы получаем $%4t^2-3t-1=(t-1)(4t+1)\le0$%, откуда $%t=0$% или $%t=1$%. Для $%t=0$% будет $%y=0$%, и $%x^2=1$%, что даёт решения $%(\pm1,0)$%. Если $%t=1$%, то $%y=5$%, и $%|x^2-25|=9$%, что даёт $%x^2=16$% и решения $%(\pm4,5)$%.

Пусть теперь $%y=8t-1$%. Здесь получается $%4t^2-5t=t(4t-5)\le0$%. Здесь вариант $%t=0$% даёт отрицательное $%n$%, поэтому $%t=1$%, $%y=4t^2-t=3$%, $%|x^2-9|=7$%. Следовательно, $%x^2=16$%, и имеем ещё решения $%(\pm4,3)$%. Итого 6 решений в целых числах.

ссылка

отвечен 11 Ноя '18 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×42

задан
11 Ноя '18 21:07

показан
134 раза

обновлен
11 Ноя '18 21:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru