Есть ли формула для подсчета порядка централизатора заданной перестановки в группе четных перестановок? Если, к примеру, имеется разложение перестановки в произведение независимых циклов разных длин

задан 12 Ноя '18 0:07

изменен 12 Ноя '18 0:08

Виноват, не дочитал про подгуппу. Убрал свое сообщение.

(12 Ноя '18 0:38) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим сначала более простую задачу нахождения централизатора подстановки в $%S_n$%. Как известно, его индекс равен мощности класса сопряжённых элементов данной подстановки. Найдём её, опираясь на то, что сопряжёнными в симметрической группе являются подстановки с одинаковым циклическим строением.

Итак, пусть дана подстановка $%g$% из $%S_n$%, представленная в виде произведения независимых циклов. Будем учитывать также циклы длиной 1. Если осуществить произвольную замену символов в записи $%g$% посредством некоторой подстановки, то получится элемент с тем же циклическим строением. Замен у нас всего $%n!$%, но надо учитывать, что при разных заменах может получиться одна и та же подстановка. А именно, каждый цикл длиной $%k$% можно записать $%k$% различными способами, то есть $%n!$% нужно разделить на произведение длин циклов. Далее, если цикл какой-то длины имеет кратность $%s$%, то нужно ещё разделить на $%s!$%, так как эти циклы можно произвольным образом переставлять.

В итоге $%n!$% окажется разделена на величину, которая равна порядку централизатора $%g$% в $%S_n$%, ввиду замечания о его индексе. Получается, что порядок централизатора $%g$% равен произведению длин независимых циклов, умноженному на произведение факториалов кратностей циклов. Можно, конечно, ввести обозначения для всех используемых величин, но я считаю, что в словесной форме это всё выглядит понятнее.

Для примера: пусть $%g=(17)(23)(489)(5)(6)$%. Тогда порядок централизатора $%g$% в $%S_9$% равен $%2\cdot2\cdot3\cdot2!\cdot2!=48$%. Множители, равные 1, в том числе получающиеся из факториалов, мы опускаем. С длинами циклов тут всё ясно, а факториалы рассматриваются для тех длин, у которых имеется несколько циклов этой длины. В данном случае у нас по 2 цикла длиной 1 и 2.

Теперь будем считать, что $%g\in A_n$%, и сравним порядки централизаторов $%g$% в $%S_n$% и $%A_n$%. Через $%H$% обозначим централизатор в $%S_n$%, порядок которого мы уже умеем находить. Ясно, что если $%H\le A_n$%, то порядок не меняется. Это происходит тогда, когда $%g$% коммутирует только с чётными подстановками. Пусть это не так. Рассмотрим ограничение естественного гомоморфизма $%S_n\to S_n/A_n\cong\mathbb Z_2$% на подгруппу $%H$%. Ядро этого ограничения равно $%H\cap A_n$%, и факторгруппа $%H/H\cap A_n$% изоморфна подгруппе $%\mathbb Z_2$%, то есть имеет порядок 1 или 2. Случай порядка 1 означает, что $%H=H\cap A_n$%, то есть $%H\le A_n$%, что мы уже рассмотрели. Значит, здесь фактор имеет порядок 2, откуда $%|H\cap A_n|=\frac12|H|$%. То есть порядок централизатора $%g$% в $%A_n$% вдвое меньше порядка централизатора этого же элемента в $%S_n$%.

Осталось осознать, когда нужно порядок делить на 2. Допустим, что в разложении $%g$% есть цикл чётной длины. Тогда $%g$% коммутирует с нечётной подстановкой, и имеет место второй случай, когда делить на 2 нужно. Далее, предположим, что все циклы имеют нечётную длину, но длины некоторых циклов повторяются. Тогда при наличии циклов $%(a_1\ldots a_m)$% и $%(b_1\ldots b_m)$%, где $%m$% нечётно, мы можем сопрячь $%g$% нечётной подстановкой $%(a_1b_1)\ldots(a_mb_m)$%, снова получая $%g$%. То есть и здесь $%g$% коммутирует с нечётной подстановкой, и надо делить на 2.

Остался случай, когда все циклы имеют нечётную длину, и эти длины не повторяются. Тогда порядок $%H$% равен произведению нечётных чисел (факториалы равны 1). В этом случае поделить на 2 нечётное число нельзя, то есть это в точности соответствует первому случаю $%H\le A_n$%.

Итого мы приходим к выводу, что для нахождения порядка централизатора подстановки $%g\in A_n$% в знакопеременной группе, надо найти порядок её централизатора в $%S_n$% (по выделенной жирным шрифтом "словесной формуле"), и в случае его чётности разделить на 2, а в случае нечётности оставить как есть.

Например, для подстановки из примера выше, централизатор в $%A_9$% имеет порядок 24, а для подстановки, скажем, $%(12345)(678)(9)$%, порядки централизаторов как в $%S_9$%, так и в $%A_9$%, равны $%15$%.

ссылка

отвечен 12 Ноя '18 3:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×901
×75

задан
12 Ноя '18 0:07

показан
451 раз

обновлен
12 Ноя '18 3:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru