Подскажите пожалуйста что здесь нужно делать $$xy'-y=x^3$$

задан 27 Апр '13 21:49

изменен 27 Апр '13 21:55

falcao's gravatar image


254k23650

Небольшой экскурс в теорию. Сейчас надо разучить простой приём. Мы нашли частное решение. Обозначим его $%y_0=x^3/2$%. Оно удовлетворяет уравнению, как было установлено. Далее такая инструкция. 1) Напишите уравнение из условия относительно $%y$%, где $%y$% -- произвольное решение. 2) Под ним напишите такое же уравнение с участием $%y_0$% вместо $%y$%. 3) Вычтите из первого равенства второе и перепишите его так, чтобы в нём везде участвовала разность $%y-y_0$%, которую далее будем обозначать через $%z$%.

(28 Апр '13 1:15) falcao

@Светлана7: Похоже, но пока ещё не верно. Какой знак стоит в уравнении перед $%y$%? Вы минус превратили в плюс. Кроме того, я в полученном уравнении просил заменить $%y-y_0$% на $%z$%, а Вы этого не сделали. Когда Вы начнёте при решении задач делать то, что требуется, а не то, что хочется, нравится, что привычно, или что первым приходит в голову, то у Вас всё начнёт получаться. Если Вам удастся преодолеть в себе эти привычки, то сами удивитесь, насколько всё легко и просто окажется.

(28 Апр '13 19:17) falcao

Это то, что нужно. Обратите внимание, что это то же самое уравнение (относительно $%z$% вместо $%y$%), но с нулём в правой части. Оно называется однородным. Сейчас его надо решить и найти $%z$%. Что нам это даст? Мы найдём $%z=y-y_0$%, а $%y_0$% было найдено в начале. Останется потом сложить, и мы узнаем $%y$%. Теперь действия на Уровне 3: замените $%z'$% на $%dz/dx$%, и решите получившееся уравнение по аналогии с тем, которое недавно было (это где $%1+x^2$% было в знаменателе). Метод -- тот же, но это уравнение ещё проще.

(28 Апр '13 20:22) falcao

$$\int \frac{dz}{z}=\int \frac{dx}{x}+C ; \ln \mid z\mid =\ln \mid x\mid +C$$

(30 Апр '13 1:08) Светлана7

@Светлана7: не так давно я демонстрировал этот приём: константу в таких случаях удобно представить в форме $%\ln C$%. После чего используем свойства логарифма и выражаем $%z$% через $%x$%. Я думаю, Вы сможете это сделать без ошибок. После этого надо вспомнить, что $%z=y-y_0$%, то есть $%y=z+y_0$%. Сейчас Вы найдёте $%z$%, и останется к нему прибавить $%y_0=x^3/2$%, найденное на Уровне 1. Получится окончательный ответ в этой задаче.

(30 Апр '13 1:26) falcao

я уже ничего не понимаю(((

(30 Апр '13 1:37) Светлана7

напишите пожалуйста решение... потом разберусь...

(30 Апр '13 2:27) Светлана7
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Что-то ссылка не хочет вставляться... ((

Можно в левой части получить формулу - производная отношения... тогда получится уравнение в виде определения первообразной $%\left(\frac{y}{a(x)}\right)' = b(x)$% ...

ссылка

отвечен 27 Апр '13 22:09

изменен 27 Апр '13 22:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Я бы решал так

ссылка

отвечен 28 Апр '13 14:16

изменен 30 Апр '13 0:36

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Частное решение ищем в виде $%y=Cx^3$%. После подстановки его в уравнение константа легко находится.

Далее решаем однородное уравнение -- когда в правой части $%0$%. Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно решается тем же способом, который Вы уже применяли недавно.

В конце надо сложить то и другое, и получится общий вид решения неоднородного уравнения (того, которое было дано в условии).

ссылка

отвечен 27 Апр '13 21:55

Боже, а вы хоть один пример сами решили? Может, вы не там учитесь, где вам надо? Подумайте!

(27 Апр '13 23:01) DocentI
2

@Светлана7: Ваша фраза "не понимаю как делать", к сожалению, не несёт для меня ровно никакой информации. Я изложил некое объяснение. Оно Вам непонятно -- полностью или частично. Давайте сделаем так: Вы читаете текст, и обращаетесь с первым же КОНКРЕТНЫМ вопросом. Не пытайтесь сразу понять и решить всё целиком. Скажем, понятен ли Вам смысл понятия "частное решение", и понятен ли самый первый абзац, где о нём идёт речь? Я предлагаю такой вот "пошаговый" метод выяснения.

(27 Апр '13 23:09) falcao

То, что Вам нравится -- это сугубо Ваше личное дело. Если Вы задаёте здесь вопрос, то это означает, что Вы хотите научиться решать определённый тип задач. Я могу Вас научить, если Вы этого хотите, но для этого Вам будет необходимо на время "сеанса" чётко выполнять все инструкции. В частности, отвечать на задаваемые вопросы, а также задавать свои вопросы по поводу объяснений, но предельно конкретные. Если Вас это устраивает, то давайте приступим. Мой вопрос касался понятия "частное решение".

(27 Апр '13 23:20) falcao

@Светлана7: Приходится продолжать здесь -- там снова нет возможности оставить комментарий. Вы просите привести пример, но я не понял, пример чего именно. Я Вам указал на две допущенных Вами ошибки. Уравнение $%xz'-z=0$% не могло превратиться в уравнение $%xz'-1=0$%, так как $%z$% и $%1$% -- это совсем разные вещи, и одно нельзя заменять на другое. Если Вы хотите продолжать, то я прошу сделать то, что я сказал выше. А именно, переписать уравнение, заменив в нём $%z'$% на $%dz/dx$%. Это в точности одно и то же по смыслу: производная $%z$% по $%x$%.

(28 Апр '13 22:30) falcao

@Светлана7: Приходится снова отвечать здесь. Ужасно неудобный интерфейс, непонятно на что рассчитанный. Я пока так и не понял, пример ЧЕГО надо привести. Я имел в виду следующее. На данном этапе всё свелось к решению уравнения $%xz'-z=0$%. Я сказал: замените $%z'$% на $%dz/dx$%. Это замена чисто "механическая", на уровне того, как если в слове "кот" заменить букву "о" на букву "и", то получится слово "кит". Ничего глубокого не имелось в виду. А когда Вы это сделаете, то получится пример, аналогичный тому, который Вы недавно решали. См. Ваш же вопрос про $%(1+x^2)dy+ydx=0$%.

(29 Апр '13 22:59) falcao

Интерфейс, не рассчитанный на онлайн-репетиторство.
Тем более, ученица Вам попалась... Завидую Вашему терпению!

(29 Апр '13 23:31) DocentI

Лучше дать полное решение.

(29 Апр '13 23:59) ASailyan
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,061

задан
27 Апр '13 21:49

показан
3044 раза

обновлен
30 Апр '13 2:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru