Нужно вычислить сумму ряда почленным дифференцированием: $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{r^n \cdot \cos(nx)}{n}. $$ После дифференцирования: $$ -\sum_{n=1}^{\infty} r^n \cdot \sin(nx), $$ $%|r| < 1$% - фиксирован. Дифференцировать дальше, как понимаю, толку будет мало. Какая идея для подсчета/сворачивания последнего ряда? произведение по Коши тоже не очень помогает, если его тут, конечно, можно применить.

задан 13 Ноя '18 19:51

изменен 14 Ноя '18 13:45

all_exist's gravatar image


41.2k212

1

@Kozlovvmk: представьте sin(nx) как мнимую часть от e^{inx}. После этого найдите сумму геометрической прогрессии (re^{ix})^n. Останется у неё выделить мнимую часть.

(13 Ноя '18 20:39) falcao

а стандартный прием домножения на синус половинного угла вроде никак не помогает. Хотя при выделении мнимой части должен возникнуть синус половинного угла..

(14 Ноя '18 1:44) abc

@abc: при наличии r, я не знаю как ограничиться таким домножением.

(14 Ноя '18 2:00) falcao

также как при интегрировании r^n sin(nx) dn надо взять два раза по частям, так и при суммировании r^n sin(nx) надо применить два раза преобразование Абеля. Получится очень громоздко.

(14 Ноя '18 12:22) abc
1

а может сделать замену в исходном ряде... и сразу заметить ряд Тейлора для логарифма... или так нельзя?...

(14 Ноя '18 13:48) all_exist

@all_exist: наверное, так технически лучше -- ряд всё-таки хорошо известный. По-моему, вокруг таких формул было уже несколько задач на форуме, хотя в этой есть своя специфика. Ответ здесь выходит более громоздкий -- при r=1 он становится проще.

(14 Ноя '18 18:21) falcao

@falcao, Ответ здесь выходит более громоздкий -- при r=1 он становится проще. - а какая разница, если $%re^{ix} = z$%?...

(14 Ноя '18 20:06) all_exist

@all_exist: разница в том, что у ln(1+re^{ix}) выделить в явном виде действительную часть труднее, чем для ln(1+e^{ix}). Итоговые формулы получатся в общем виде более сложные.

(14 Ноя '18 20:13) falcao
1

@falcao, выделить в явном виде действительную часть труднее - эмм... ну, $%\ln|1+z|$%... а модуль можно даже по теореме косинусов вычислить...

и вроде всё...

(14 Ноя '18 21:30) all_exist

@all_exist: да, правильно -- для нахождения действительной части этого достаточно, и получается простой ответ типа $%\frac12\ln(1+r^2+2r\cos x)$%.

(14 Ноя '18 21:42) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×663
×393
×129
×6

задан
13 Ноя '18 19:51

показан
206 раз

обновлен
14 Ноя '18 21:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru