|
Какова вероятность, что в каждом классе окажется по 5 отличников? Спасибо. задан 14 Ноя '18 19:32 
Jktu
показано 5 из 17
показать еще 12
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
14 Ноя '18 19:32
показан
890 раз
обновлен
15 Ноя '18 4:15
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
типовая задача на гипергеометрическое распределение...
@all_exist Ok, изучу
@Jktu: ответьте последовательно на такие вопросы.
1) Сколькими способами из 40 человек можно выбрать 20?
2) Сколькими способами их же можно выбрать так, чтобы среди них было 5 отличников и 15 не отличников?
3) Чему равна вероятность?
@falcao Я так и начинал. Ответ на 1-ый вопрос получился С (20 из 40) = 40! / (20! * 20!) = 30-значное целое, причём только 5 последних знаков - нули.
@Jktu: это число большое, но его не надо находить в явном виде. Надо найти второе (тоже выразить через сочетания), а потом у частного многие факториалы посокращаются. При практическом вычислении полезно раскладывать числитель и знаменатель на простые множители. В конце получится дробь, у которой надо указать сначала точное значение, а потом приближённое.
@falcao Самое лучшее, что получилось в результате сокращений:
(17 * 2 * 19 * 16 * 17 * 18 * 19 *4 * (20!)^2 ) / 40! =
= ( 240 374 016 * (20!)^2 ) / 40!
@Jktu: это неправильно. Тут ошибки в счёте. Вообще-то такие вещи лучше считать на компьютере, хотя можно и вручную. Если хотите, я могу показать, как это лучше сделать в смысле техники.
@falcao: Решал так:
С (20 из 40) = (как вверху)
С (5 из 20) = 20! / (15! * 5!)
С (15 из 20) = С (5 из 20)
далее см.
http://www.picshare.ru/view/9479404/
@Jktu: у Вас не те сочетания рассмотрены. Почему-то 5 и 15 набираются из 20. Но ведь отличников 10, а остальных 30. Поэтому должно быть $%C_{10}^5C_{30}^{15}$% в числителе.
@falcao Спасибо.
@falcao Без компьютера вряд ли можно посчитать (даже инженерный калькулятор вряд ли справится, хотя смотря по калькулятору и умению им обращаться).
Воспользовался и тетрадкой с ручкой, и Excel:
http://www.picshare.ru/view/9479699/
@Jktu: я вычислял в Maple. У меня цифры после запятой те же, но ответ равен 46512/164021, что примерно равно 0,2835734449. То есть вероятность в 10 раз больше Вашей. Думаю, Вы где-то напутали с разрядностью.
@falcao Да, совпало: сначала перемножил всё ч/з ФАКТР, потом проверил ещё с шага, на котором одни числа (без факториала) - а то я числитель с калькулятора брал.
@Jktu: в качестве "десерта" (хотя это и не обязательно). Есть довольно быстрый способ нахождения канонического разложения факториала. Это ведёт к равенствам $%40!=2^{38}3^{18}5^97^511^313^317^219^223\cdot29\cdot31\cdot37$%; $%30!=2^{26}3^{14}5^77^411^213^217\cdot19\cdot23\cdot29$%; $%20!=2^{18}3^85^47^211\cdot13\cdot17\cdot19$%; $%15!=2^{11}3^65^37^211\cdot13$%; $%10!=2^83^45^27$%; $%5!=2^33\cdot5$%. Отсюда $%C_{40}^{20}=2^23^25\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37$%; $%C_{30}^{15}=2^43^25\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29$%; $%C_{10}^5=2^23^27$%. Вероятность равна (см. продолжение)
$$\frac{C_{30}^{15}C_{10}^5}{C_{40}^{20}}=\frac{2^43^2\cdot17\cdot19}{11\cdot13\cdot31\cdot37}=\frac{46512}{164021}\approx0.2835734449.$$
@falcao Ну, если нельзя будет ч/з Excel, придётся узнавать, откуда берётся 2^38, 3^18 и т.д. ;^)
@Jktu: если в задаче возникают многозначные числа, то обычно не запрещают использование "подручных" вычислительных средств. Этот способ, конечно, я привёл как дополнительный. Формула для разложения факториалов есть в учебниках по теории чисел. Показатель 38 возникает здесь как сумма [40/2]+[40/2^2]+[40/2^3]+...=20+10+5+2+1=38 (квадратные скобки означают целую часть).