-1

Какова вероятность, что в каждом классе окажется по 5 отличников?

Спасибо.

задан 14 Ноя '18 19:32

изменен 14 Ноя '18 19:34

типовая задача на гипергеометрическое распределение...

(14 Ноя '18 20:10) all_exist

@all_exist Ok, изучу

(14 Ноя '18 20:13) Jktu

@Jktu: ответьте последовательно на такие вопросы.

1) Сколькими способами из 40 человек можно выбрать 20?

2) Сколькими способами их же можно выбрать так, чтобы среди них было 5 отличников и 15 не отличников?

3) Чему равна вероятность?

(14 Ноя '18 20:17) falcao

@falcao Я так и начинал. Ответ на 1-ый вопрос получился С (20 из 40) = 40! / (20! * 20!) = 30-значное целое, причём только 5 последних знаков - нули.

(14 Ноя '18 20:24) Jktu

@Jktu: это число большое, но его не надо находить в явном виде. Надо найти второе (тоже выразить через сочетания), а потом у частного многие факториалы посокращаются. При практическом вычислении полезно раскладывать числитель и знаменатель на простые множители. В конце получится дробь, у которой надо указать сначала точное значение, а потом приближённое.

(14 Ноя '18 21:11) falcao

@falcao Самое лучшее, что получилось в результате сокращений:

(17 * 2 * 19 * 16 * 17 * 18 * 19 *4 * (20!)^2 ) / 40! =

= ( 240 374 016 * (20!)^2 ) / 40!

(14 Ноя '18 21:33) Jktu

@Jktu: это неправильно. Тут ошибки в счёте. Вообще-то такие вещи лучше считать на компьютере, хотя можно и вручную. Если хотите, я могу показать, как это лучше сделать в смысле техники.

(14 Ноя '18 21:38) falcao

@falcao: Решал так:

С (20 из 40) = (как вверху)

С (5 из 20) = 20! / (15! * 5!)

С (15 из 20) = С (5 из 20)

далее см.

http://www.picshare.ru/view/9479404/

(14 Ноя '18 22:05) Jktu

@Jktu: у Вас не те сочетания рассмотрены. Почему-то 5 и 15 набираются из 20. Но ведь отличников 10, а остальных 30. Поэтому должно быть $%C_{10}^5C_{30}^{15}$% в числителе.

(15 Ноя '18 2:43) falcao

@falcao Спасибо.

(15 Ноя '18 2:48) Jktu

@falcao Без компьютера вряд ли можно посчитать (даже инженерный калькулятор вряд ли справится, хотя смотря по калькулятору и умению им обращаться).

Воспользовался и тетрадкой с ручкой, и Excel:

http://www.picshare.ru/view/9479699/

(15 Ноя '18 3:04) Jktu

@Jktu: я вычислял в Maple. У меня цифры после запятой те же, но ответ равен 46512/164021, что примерно равно 0,2835734449. То есть вероятность в 10 раз больше Вашей. Думаю, Вы где-то напутали с разрядностью.

(15 Ноя '18 3:20) falcao

@falcao Да, совпало: сначала перемножил всё ч/з ФАКТР, потом проверил ещё с шага, на котором одни числа (без факториала) - а то я числитель с калькулятора брал.

(15 Ноя '18 3:39) Jktu

@Jktu: в качестве "десерта" (хотя это и не обязательно). Есть довольно быстрый способ нахождения канонического разложения факториала. Это ведёт к равенствам $%40!=2^{38}3^{18}5^97^511^313^317^219^223\cdot29\cdot31\cdot37$%; $%30!=2^{26}3^{14}5^77^411^213^217\cdot19\cdot23\cdot29$%; $%20!=2^{18}3^85^47^211\cdot13\cdot17\cdot19$%; $%15!=2^{11}3^65^37^211\cdot13$%; $%10!=2^83^45^27$%; $%5!=2^33\cdot5$%. Отсюда $%C_{40}^{20}=2^23^25\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23\cdot29\cdot31\cdot37$%; $%C_{30}^{15}=2^43^25\cdot17\cdot19\cdot23\cdot29$%; $%C_{10}^5=2^23^27$%. Вероятность равна (см. продолжение)

(15 Ноя '18 3:53) falcao

$$\frac{C_{30}^{15}C_{10}^5}{C_{40}^{20}}=\frac{2^43^2\cdot17\cdot19}{11\cdot13\cdot31\cdot37}=\frac{46512}{164021}\approx0.2835734449.$$

(15 Ноя '18 3:57) falcao

@falcao Ну, если нельзя будет ч/з Excel, придётся узнавать, откуда берётся 2^38, 3^18 и т.д. ;^)

(15 Ноя '18 4:07) Jktu

@Jktu: если в задаче возникают многозначные числа, то обычно не запрещают использование "подручных" вычислительных средств. Этот способ, конечно, я привёл как дополнительный. Формула для разложения факториалов есть в учебниках по теории чисел. Показатель 38 возникает здесь как сумма [40/2]+[40/2^2]+[40/2^3]+...=20+10+5+2+1=38 (квадратные скобки означают целую часть).

(15 Ноя '18 4:15) falcao
показано 5 из 17 показать еще 12
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,925
×1,289
×44

задан
14 Ноя '18 19:32

показан
680 раз

обновлен
15 Ноя '18 4:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru