Доказать, что если степень простого числа с натуральным показателем представима в виде суммы двух кубов натуральных чисел, то это простое число равно 2 или 3.

задан 16 Ноя '18 1:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%p^n=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)((x+y)^2-3xy)$%

Оба сомножителя должны быть степенями $%p$%. Пусть это $%p^k$% и $%p^m$%. Тогда $%3xy=p^{2k}-p^m$%. Предположим, что $%m\ge1$%. Тогда $%3xy$% делится на $%p$%. При $%p\ne3$% получается, что $%x$% или $%y$% делится на $%p$%. Из того, что $%x+y$% делится на $%p$%, получается, что оба числа делятся, и тогда можно понизить степень: $%p^{n-3}=(x/p)^3+(y/p)^3$%. В этом смысле, можно было изначально выбирать показатель $%n$% минимальным.

Остаётся случай, когда $%m=0$%, то есть $%x^2-xy+y^2=1$%. Отсюда $%(2x-y)^2+3y^2=4$%. Тогда $%y=1$%, $%2x-y=\pm1$%, то есть $%x=1$%, поскольку числа натуральные. Это даёт $%p=2$%.

ссылка

отвечен 16 Ноя '18 9:42

@falcao, большое спасибо!

(17 Ноя '18 0:53) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,134
×791
×229
×106
×62

задан
16 Ноя '18 1:41

показан
140 раз

обновлен
17 Ноя '18 0:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru