|
Как доказать, что $%(F_{n})^{2}+ (F_{n+1})^{2}=F_{2n+1}.$% задан 9 Фев '12 18:47 
dmg3 |
|
Применим метод математическо й индукции. При $%n=1$% , имеем $%f_1^2+f_2^2=1+1=f_1+f_1=f_3=f_{2\cdot1+1} $%. При $%n=2,$% $$ f_2^2+f_3^2=1+4=5=f_5=f_{2\cdot2+1}$$. Допустим равенство верно для $% n=k $% и $%k-1$%, то есть $$ f_{2\cdot k+1}=f_k^2+f_{k+1 }^2 , f_{2\cdot k-1}=f_{k-1}^2+f_k ^2 $$. Докажем, что равенсто будет верно и при $% n=k+1 $%. $% f_{2\cdot(k+1)+1}= f_{2\cdot k+3}= f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k+2}=2 f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k}= $% $% =2 f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k+1}- f_{2\cdot k-1}=3 f_{2\cdot k+1}- f_{2\cdot k-1}=3(f_k^2+f_{k+1 }^2 )-(f_{k-1}^2+f_k ^2 )=3f_{k+1 }^2+2f_k^2-( f_{k+1}- f_k)^2= $% $%=2f_{k+1 }^2+f_k^2+2 f_k f_{k+1}=f_{k+1 }^2+( f_{k+1}+f_k)^2=f_{k+1}^2+f_{k+2 }^2$%. отвечен 12 Фев '12 2:33 
ASailyan |
|
Воспользуемся формулой Бине. $$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)$$ тогда $$F_n^2=(\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n))^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n) -2(-1)^n)$$ $$F_{n+1}^2=(\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}))^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n+1}) -2(-1)^{n+1})$$ $$F_n^2+F_{n+1}^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n))+ \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n+1})) = ... $$ $$... =\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2n+1})=F_{2n+1}$$ отвечен 9 Фев '12 20:27 
Anatoliy |
