Как доказать, что $%(F_{n})^{2}+ (F_{n+1})^{2}=F_{2n+1}.$%

задан 9 Фев '12 18:47

изменен 11 Июн '12 19:50

ASailyan's gravatar image


15.4k729

10|600 символов нужно символов осталось
0

Применим метод математическо й индукции.

При $%n=1$% , имеем $%f_1^2+f_2^2=1+1=f_1+f_1=f_3=f_{2\cdot1+1} $%.

При $%n=2,$% $$ f_2^2+f_3^2=1+4=5=f_5=f_{2\cdot2+1}$$.

Допустим равенство верно для $% n=k $% и $%k-1$%, то есть

$$ f_{2\cdot k+1}=f_k^2+f_{k+1 }^2 , f_{2\cdot k-1}=f_{k-1}^2+f_k ^2 $$.

Докажем, что равенсто будет верно и при $% n=k+1 $%.

$% f_{2\cdot(k+1)+1}= f_{2\cdot k+3}= f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k+2}=2 f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k}= $%

$% =2 f_{2\cdot k+1}+ f_{2\cdot k+1}- f_{2\cdot k-1}=3 f_{2\cdot k+1}- f_{2\cdot k-1}=3(f_k^2+f_{k+1 }^2 )-(f_{k-1}^2+f_k ^2 )=3f_{k+1 }^2+2f_k^2-( f_{k+1}- f_k)^2= $%

$%=2f_{k+1 }^2+f_k^2+2 f_k f_{k+1}=f_{k+1 }^2+( f_{k+1}+f_k)^2=f_{k+1}^2+f_{k+2 }^2$%.

ссылка

отвечен 12 Фев '12 2:33

изменен 13 Июн '12 0:39

10|600 символов нужно символов осталось
3

Воспользуемся формулой Бине.

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n)$$ тогда $$F_n^2=(\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n))^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n) -2(-1)^n)$$

$$F_{n+1}^2=(\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}))^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n+1}) -2(-1)^{n+1})$$

$$F_n^2+F_{n+1}^2= \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^n))+ \frac{1}{5}((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{3-\sqrt{5}}{2})^{n+1})) = ... $$ $$... =\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2n+1})=F_{2n+1}$$

ссылка

отвечен 9 Фев '12 20:27

изменен 9 Фев '12 22:42

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×24

задан
9 Фев '12 18:47

показан
953 раза

обновлен
13 Июн '12 0:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru