|
Как доказать, что множество $%({0}\times [-1, 1])\cup\{(x, sin\frac{1}{x})|x>0\}\subset\mathbb{R}^{2}$% является связным, но не линейно связным. задан 9 Фев '12 18:54 
dmg3 |
|
Непрерывное отображение из отрезка в пространство - это как раз и есть то, что называется "непрерывная кривая". А вот ещё одно определение линейной связности множества (вернее, переформулировка уже указанного): "Множество Е называется линейной связным, если любые две его точки можно соединить путём, след которого лежит во множестве Е". То есть фиксируем произвольные точки х' и х'' из Е, если найдётся непрерывная кривая, с концами в этих точках, которая целиком содержится в Е, то Е - линейно связное множество. В Вашем случае на графике есть точка разрыва - поэтому если взять точку (0;0) и любую точку (х;у), принадлежащую графику функции, получим, что любая кривая на нашем графике, соединяющая эти две точки, обязана проходить через точку разрыва графика (это один из её концов). Эта точка (нуль) должна принадлежать кривой, чтобы кривая была непрерывной, но эта точка не принадлежит нашему множеству, поэтому требование "непрерывная кривая, ..., которая целиком содержится в Е" не может быть выполнена для указанных двух точек. А значит, множество Е линейно связным не будет. Как-то так. отвечен 10 Фев '12 2:34 
Dreamer Точка (0, 0) принадлежит нашему множеству и что плохого в том что она точка разрыва графика, подмножества нашего множества?
(10 Фев '12 7:33)
dmg3
|
|
Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой. График $$y=sin(1/x)$$ терпит разрыв в точке x=0. Поэтому эту точку (0,0) соединить непрерывной линией с другой точкой этого графика. Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества.Теорема. Замыкание связного множества A связно. График $%y=sin(1/x)$% являеься связным множеством ( это непрерывная линия при x>0). Замыкание этого графика равно в точности множеству $$({0}\times [-1, 1])\cup\{(x, sin\frac{1}{x})|x>0\}$$ ЧТД отвечен 9 Фев '12 22:15 
ValeryB А что вы называете непрерывной кривой?
(9 Фев '12 22:20)
dmg3
$$y=sin(1/x), x>0$$
(9 Фев '12 22:23)
ValeryB
Я говорю не об этом решении а в принципе об определении. Я, например считаю, что линейно связное пространство - это такое X, что для любых $%x_{1}\, x_{2} \in X$% существует непрерывное отображение f из [0, 1] в Х, f(0)=$%x_{1}$%, f[1]=$%x_{2}$%.
(9 Фев '12 22:27)
dmg3
И почему если график терпит разрыв из-за отсутствия предела, он не линейно связен?
(9 Фев '12 22:39)
dmg3
Все првильно. Уточким только: для любых A1=(x1,y1),A2=(x2,y2)∈X существует непрерывное отображение f из [0, 1] в Х, f(0)=A1, f[1]=A2. Принимаем A1(0,0),A2(1,sin(1)). Тогда проекции на на оси дают x=x(t),y=y(t) - непрерывные функции. Они удовлетворяют равенству y(t)=sin(1/x(t)) Осталось t->0, но не получим y(t)->0
(10 Фев '12 14:06)
ValeryB
|