alt text

Дословный перевод: «Определите все пары $%(x, y)$% целых натуральных, для котороых число $%\dfrac{x^2+1}{y^2}+4$% - полный квадрат».

Вольный перевод: просто решите в натуральных числах уравнение $%\dfrac{x^2+1}{y^2}+4=z^2.$%

задан 18 Ноя '18 1:45

1

Уравнение Пелля $%x^2-(z^2-4)y^2=-1$%

(18 Ноя '18 9:10) Individ
1

@Individ: Получается множество уравнений Пелля, из них только при $%z=3$% уравнение имеет решения.

(18 Ноя '18 14:32) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: а какой там критерий для параметра A, чтобы x^2-Ay^2=-1 имело решения?

(18 Ноя '18 14:44) falcao
1
(18 Ноя '18 15:05) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: мне пока непонятно, почему там получается только значение 5 для A=z^2-4. Оно не должно делиться на 3, чтобы уравнение имело решения, и тогда z делится на 3. Также z нечётно, но как быть дальше?

(18 Ноя '18 15:16) falcao
1

@falcao: Мне показалось, что $%z^2-4$% всегда имеет делителем простое вида $%4k+3$%. Я не прав.

(18 Ноя '18 15:36) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ: похоже, это какой-то сложный вопрос. Из необходимого условия по ссылке следует, что z=12k+3. Тогда во многих случаях условие выполняется, но чисел нужного вида нет в таблице в пределах до 10000. Боюсь, что это дело может быть какой-то открытой проблемой.

(18 Ноя '18 15:46) falcao
2

@falcao: "Уравнение $%x^2−(d^2+2)y^2=−3$% разрешимо только при $%d=1$%." Такой результат (похожий на нашу задачу) есть в статье Н.Осипова. Но статью затерял, найти не могу.

(18 Ноя '18 19:30) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: на данный момент я уже знаю доказательство, но оно основано на критерии (период цепной дроби нечётен). Доказательство самого критерия мне не известно, но сам факт очень интересен. Нет ли у Вас ссылки на него?

(18 Ноя '18 20:04) falcao

@EdwardTurJ: спасибо за ссылку. Результат весьма интересный. Правильно ли я понимаю, что он относительно недавний? В статье я не увидел года издания. Через поиск выяснил, что это вроде бы 2004 год.

(18 Ноя '18 20:38) falcao
2

@Казвертеночка: а не перевести ли так:

.$%\frac{x^2+1}{y^2}+4=z^2$% еиненвару халсич хыньларутан в ьтишеР

Мне показалось забавным, когда буквы идут в одну сторону, а формулы на этом фоне -- в другую! :)

(19 Ноя '18 4:27) falcao

@falcao, да, это так. В арабском, иврите и некоторых других языках пишут справа налево. Но цифры и математические знаки - слева направо, потому и возникает проблемка. Причём сами жители стран, в которых используются эти языки, часто путаются. У меня, напирмер, адрес: дом №3, квартира №5, у нас это записывается так: 3/5. При этом я очень часто получаю письма, адресованные жителям квартиры №3 из дома №5, приходится их туда относить. А когда соседи из квартиры №3 из дома №5 получают письма на моё имя, они относят их мне. Действительно, забавно :)

(19 Ноя '18 11:12) Казвертеночка
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пока в порядке как бы "анонса": простого решения я не знаю (даже если использовать вещи типа символов Лежандра или арифметики целых гауссовых чисел). Но с использованием критерия (доказательство которого я пока не успел изучить) можно доказать, что z=3, и все решения даёт уравнение Пелля x^2-5y^2=-1, где описание известно.

Из соображений остатков от деления на 3 и 4 видно, что z нечётно и делится на 3. Полагая z=6k+3, проверяем, что при k>=1 разложение числа sqrt(z^2-4) в цепную дробь имеет вид [6k+2,(1,3k,2,3k,1,12k+4)], где в скобки взят период. Он имеет чётную длину 6. По критерию, "отрицательное" уравнение Пелля для этого случая решений не имеет.

Конкретные вычисления (их можно провести несколькими способами) добавлю позже.

ссылка

отвечен 19 Ноя '18 4:23

@falcao, большое спасибо!

(19 Ноя '18 11:15) Казвертеночка

@falcao, на соседнем форуме предлагают вот это: https://dxdy.ru/topic131114.html

(19 Ноя '18 16:59) Казвертеночка

@Казвертеночка: там, фактически, всё то же самое. То же разложение в цепную дробь с точностью до замены переменной, но потом в конце критерий не используется напрямую, а рассматриваются значения квадратичной формы для числителей и знаменателей подходящих дробей. Там -1 нет среди значений, и остаётся корректно сослаться на общий факт о наилучших приближениях.

(19 Ноя '18 17:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
-3

Ничего себе как они намудрили..... А всё потому, что упорно игнорируют мои формулки....

Чукча как говориться не читатель... чукча писатель...

Ладно... Ёжики даже Канадские понимают, что сложное уравнение можно свести к простому уравнению Пелля.... И стандартная там процедура и связь между решениями...

Лучше рассмотреть уравняшку в общем виде.....

$$aX^2+bXY+cY^2=f$$

Разрешимость и существование решения сводиться к рациональному корню: $$\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$$

Ну и все решения можно выразить через обычное уравнение Пелля...: $$p^2-(b^2-4ac)s^2=1$$

А уже используя эти решения записать нужные нам решения:

$$Y=((4a+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$$

$$X=(-(4c+2b)ps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a+b+c}}$$

Для виду надо и такой корень написать: $$\sqrt{fa}$$ И решения конечно...:

$$Y=4ps\sqrt{fa}$$

$$X=(-2bps\pm(p^2+(b^2-4ac)s^2))\sqrt{\frac{f}{a}}$$

Можно упомянуть и вот это уравнение..... из за которого эта головная боль: $$aX^2-qY^2=f$$

Приходим к выяснению рациональности корня: $$\sqrt{\frac{f}{a-q}}$$

Воспользуемся решениями этого уравнения Пелля.: $$p^2-aqs^2=1$$

И теперь сами решения можно представить так...:

$$Y=(2aps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$$

$$X=(2qps\pm(p^2+aqs^2))\sqrt{\frac{f}{a-q}}$$

Кстати. Найдя решение - можно найти дубликат этого решения. По приведённой формуле.

$$Y_2=Y+2as(qsY-pX)$$

$$X_2=X+2p(qsY-pX)$$

Забавно то, что дубликат решения может по формуле не получаться....

И нужно добавить вот, что. Необходимо и рассматривать эквивалентные формы. Надеюсь не надо объяснять, что это есть такое?

ссылка

отвечен 19 Ноя '18 10:58

1

@Individ: общие формулы тут ни к чему. Есть одна, сводящая всё к уравнению Пелля -- это то, что было сказано в самом начале, в комментарии. После этого надо понять, при каких A=z^2-4 имеет решение отрицательное уравнение. И вот здесь надо уметь доказывать, что z=3. Это основной факт. Для A=5 описание решений известно.

(19 Ноя '18 11:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,405
×986
×958
×105
×3

задан
18 Ноя '18 1:45

показан
744 раза

обновлен
19 Ноя '18 17:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru