геометрия - Четыреугольник, вписанный в окружность

Обозначим <АDB=<ACB=a, <ABC=<ACD=b, <DAC=<DBC=c , <BAC=<BDC=d. Согласно теореме синусов AB=2Rsina , BC=2Rsind, DC= 2Rsinc , AD=2Rsinb. Отсюда

$% 4R^2sin^2a+4R^2sin^2b+4R^2sin^2c+4R^2sin^2d = 8R^2$% $% 2sin^2a+2sin^2b+2sin^2c+2sin^2d = 4$%

$% 1-cos2a+1-cos2b+1-cos2c+1-cos2d=4$%

$% cos2a+cos2b+cos2c+cos2d=0$%

$%(cos2a+cos2b)+((cos2c+cos2d)=0 $%

$% 2cos(a+b)cos(a-b)+2cos(c+d)cos(c-d)=0$%

Так как $%(a+b)+(c+d)=180^0$%, значит $% cos(c+d)=-cos(a+b)$%. Отсюда

$% cos(a+b)( cos(a-b)-cos(c-d))=0 $%

Отсюда $% cos(a+b)=0 $% или $% cos(a-b)-cos(c-d)=0 $%

В первом случае $%a+b=90^0$%. Значит $%<BCD=90^0$% ,отсюда диагональ BD диаметр окружности. Во втором случае $% 2sin(a-b+c-d)/2*sin(c-d-a+b)/2=0 $% Так как $% a+b+c+d=180^0 $%, то последнее возможно только если $% a+c=b+d=90^0$% или $% c+b=a+d=90^0 $%. Первый означает что что AC и BD перпендикулярны, а второй что AC диаметр окружности.

И так условие задачи означет , что либо один из диогоналей является диаметром окружности, либо диагонали перпендикулярны.