Для четырехугольника ABCD, вписанного в окружность радиуса R, выполняется AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=8R^2. Можно ли утверждать, что хотя бы одна из диагоналей ABCD является диаметром окружности?

задан 9 Фев '12 19:57

изменен 9 Фев '12 19:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

Обозначим <АDB=<ACB=a, <ABC=<ACD=b, <DAC=<DBC=c , <BAC=<BDC=d. Согласно теореме синусов AB=2Rsina , BC=2Rsind, DC= 2Rsinc , AD=2Rsinb. Отсюда

$% 4R^2sin^2a+4R^2sin^2b+4R^2sin^2c+4R^2sin^2d = 8R^2$% $% 2sin^2a+2sin^2b+2sin^2c+2sin^2d = 4$%

$% 1-cos2a+1-cos2b+1-cos2c+1-cos2d=4$%

$% cos2a+cos2b+cos2c+cos2d=0$%

$%(cos2a+cos2b)+((cos2c+cos2d)=0 $%

$% 2cos(a+b)cos(a-b)+2cos(c+d)cos(c-d)=0$%

Так как $%(a+b)+(c+d)=180^0$%, значит $% cos(c+d)=-cos(a+b)$%. Отсюда

$% cos(a+b)( cos(a-b)-cos(c-d))=0 $%

Отсюда $% cos(a+b)=0 $% или $% cos(a-b)-cos(c-d)=0 $%

В первом случае $%a+b=90^0$%. Значит $%<BCD=90^0$% ,отсюда диагональ BD диаметр окружности. Во втором случае $% 2sin(a-b+c-d)/2*sin(c-d-a+b)/2=0 $% Так как $% a+b+c+d=180^0 $%, то последнее возможно только если $% a+c=b+d=90^0$% или $% c+b=a+d=90^0 $%. Первый означает что что AC и BD перпендикулярны, а второй что AC диаметр окружности.

И так условие задачи означет , что либо один из диогоналей является диаметром окружности, либо диагонали перпендикулярны.

ссылка

отвечен 16 Фев '12 17:27

изменен 27 Фев '12 18:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет, это означает только что у четырехугольника перпендикулярны диагонали

ссылка

отвечен 9 Фев '12 20:16

10|600 символов нужно символов осталось
0

Преобразуем исходное выражение к виду: (AB/2R)^2 +(BC/2R)^2+(CD/2R)^2+(AD/2R)^2 = 2 Отсюда видно, что при BC = CD = AD = 0 AB – диаметр, и равенство выполняется тривиально. Для любого прямоугольника, вписанного в окружность и составленного из прямоугольных треугольников (AB, BC) и (CD, AD), это равенство также тривиально. Во всех остальных случаях оно невыполнимо.

ссылка

отвечен 13 Фев '12 8:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,239

задан
9 Фев '12 19:57

показан
1293 раза

обновлен
27 Фев '12 18:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru