|
Я вычисляю sin3x таким способом $$e^{3ix} = cos(3x) + isin(3x)$$ $$e^{3ix} = (cosx + isinx)^3$$ заменим cosx = a, sinx = b $$cos3x + isin3x = a^3 + 3iab^2 - 3a^2b - ib^3$$ $$icos3x - sin3x = ia^3 - 3ab^2 - 3ia^2b + b^3$$ $$sin3x = 3b - 4b^3 = 3sinx - 4sin^3x$$ Теперь собственно вопрос, есть такое свойство если a + ib = c + id то a = c, b = d если я правильно понимаю a, b, c, d должны быть вещественными, т.е. формула может не работать если x комплексное число. Можно ли найти такие числа? задан 28 Апр '13 12:46 
4ell |
|
$$a=b=i;\quad c=-1,d=1.$$ Формула $%e^{iz}=\cos z+i\sin z$% справедлива при любом комплексном $%z$%, но следует учесть, что функции комплексной переменной - многозначные. Для примера $%(cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3})^3=1$% и $%(cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})^3=1$%, но из этого не следует, что $%cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3}=cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}.$% отвечен 28 Апр '13 13:07 
Anatoliy Не совсем то, я имел ввиду число x которое не будет удовлетворять формуле $$sin3x=3sinx−4sin^3x$$
(28 Апр '13 13:16)
4ell
@4ell: когда Вы приравниваете действительные и мнимые части, то это совершенно корректно, если исходить из того, что $%x$% в этой задаче считается вещественным числом. То же, разумеется, верно для его синуса и косинуса. Полученные тождества для косинуса и синуса тройного угла вообще-то верны и для комплексного аргумента, но это доказывается в теории аналитических функций при помощи отдельного рассуждения, которое к данному примеру отношения не имеет.
(28 Апр '13 14:15)
falcao
т.е. первые две формулы нельзя было приравнивать?
(28 Апр '13 14:24)
4ell
@4ell: после применения формулы Муавра получаются два комплексных числа, у которых можно сразу приравнять действительные и мнимые части, потому что все числа без участия $%i$% здесь вещественны. Вторую формулу с домножением на $%i$% выписывать просто незачем. Поэтому $%\sin 3x$%, как коэффициент при $%i$% в левой части, равен коэффициенту при $%i$% в левой части. Только формулы надо исправить: $%(a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-ib^3$%.
(28 Апр '13 14:47)
falcao
|