Сумма трёх факториалов равна произведению двух из них. О факториалах каких ЦНЧ (Целых Неотрицательных Чисел) может итти речь? Найти все возможные варианты и доказать, что других нет.

Выражаясь математическим языком, решите уравнение $$x!+y!+z!=x!y!$$ в ЦНЧ.

alt text

Пояснение к катринке: у арабов не принято пользоваться латинскими буквами $%x, y, z$% для обозначения неизвестных в уравнении. Они пользуются арабскими буквами "син", "сад" и "эйн" соответственно.

задан 22 Ноя '18 12:18

изменен 22 Ноя '18 12:54

1

@Казвертеночка: нет ли в условии опечатки? Если первый и третий факториал одинаковы, то уравнение слишком простое. Тем более, что в арабской формуле даже я различаю в правой части первое и третье слагаемое.

(22 Ноя '18 12:48) falcao

@falcao, ой, блин, это у меня была очепятка, она уже исправлена!

(22 Ноя '18 12:53) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: да, я про это и говорил.

(22 Ноя '18 13:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Не теряя общности, пусть $%y \ge x$%. Пусть $%y!=kx!$%. Видим, что $%z!$% должно делится на $%x!$%. Пусть $%z!=nx!$%. Отметим, что числа $%k,n$% могут быть взаимно просты тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно 1. Получаем $%k+1+n=kx!$%. Отсюда видим, что число $%n+1$% делится на $%k$%. Следовательно, числа $%k,n$% взаимно просты. Таким образом, либо $%k=1$% либо $%n=1$%. Рассмотрим случаи.

1) Пусть $%n=1$%. Получаем $%k+2=kx!$%. Видим, что 2 должно делится на $%k$%. Следовательно, либо $%k=1$% либо $%k=2$%, т.е. либо $%3=x!$% либо $%4=2x!$%. Но $%x! \ne 3$%. Также $%x! \ne 2$%, ибо $%k=2$%. В этом случае нет решений.

2) Пусть $%k=1$%. Получаем $%n+2=x!$%, откуда $%\frac{z!}{x!}+2=x!$%, откуда $%z!=x!(x!-2)$%. Пусть $%\frac{z!}{x!}=(x+1)(x+2)...(x+m)$%. Тогда $%x!-2=(x+1)(x+2)...(x+m)$%. Далее рассматриваем случай когда $%x \ge 3$%. Тогда $%x!-2$% не кратно 3. Следовательно, $%(x+1)(x+2)...(x+m)$% не должно быть кратно 3. Следовательно имеется не более двух сомножителей в последнем выражении. Следовательно, либо $%x!-2=x+1$% либо $%x!-2=(x+1)(x+2)$%. Рассмотрим эти случаи.

2.а) Пусть $%x!=x+3$%. Тогда 3 делится на $%x$%. Тогда либо $%x=1$% либо $%x=3$%. Получаем одно решение $%x=y=3, z=4$%.

2.b) Пусть $%x!=x^2+3x+4$%. Тогда 4 делится на $%x$%.Тогда либо $%x=1$% либо $%x=2$% либо $%x=4$%. Не находим решений.

Осталось рассмотреть случаи, когда $%x=1$% и когда $%x=2$%. В первом случае $%z!=x!(x!-2)=-1$%. Во втором $%z!=x!(x!-2)=0$%.

ссылка

отвечен 23 Ноя '18 23:09

изменен 23 Ноя '18 23:12

1

@Witold2357: хорошее решение, но последний абзац здесь не нужен, так как из условия x!=n+2 > 2 сразу следует x>=3.

Я представлял уравнение в виде (x!-1)(y!-1)=z!+1, и пытался рассуждать примерно в том же направлении, но не довёл свои соображения до конца.

(24 Ноя '18 0:06) falcao

@Witold2357, большое спасибо!

(24 Ноя '18 3:33) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Дык уже ж было же ж! math.hashcode.ru/questions/161306/

ссылка

отвечен 24 Ноя '18 3:37

1

@Пацнехенчик ..., @falcao, @Witold2357, Ой, а ведь и правда было! Дырявая моя башка!

(24 Ноя '18 3:44) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: а я напрочь забыл, хотя задача была не так давно. Неужели это от смены обозначений? :)

(24 Ноя '18 3:46) falcao
1

@falcao, "Неужели это от смены обозначений? :)" .................... Неплохой вопрос для психологов, кстати!

(24 Ноя '18 3:50) Казвертеночка
1

А я искал на форуме, но не нашёл...

(24 Ноя '18 13:25) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: видите, как бывает! Там ведь и решение в комментариях было Ваше, причём изложенное в подробностях. Когда я его перечитал по ссылке, то вспомнил, что мне оно понравилось, но здесь я "в упор" не узнал ту же самую задачу.

(24 Ноя '18 13:58) falcao

@falcao, "но здесь я "в упор" не узнал ту же самую задачу."....................... Жутко напомнило рассказ Роберта Шекли "Макс выполняет свой долг": https://librolife.ru/g798229

(24 Ноя '18 14:46) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: все мы немножко роботы :)

(24 Ноя '18 15:31) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,371
×68
×36
×15
×3

задан
22 Ноя '18 12:18

показан
358 раз

обновлен
24 Ноя '18 15:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru