В треугольнике $%\Delta ABC$% угол $%\angle A$% в два раза больше угла $%\angle B$%, угол $%\angle C$% – тупой, а длины сторон $%a, b, c$% – целые числа. Найдите периметр треугольника, если известно, что он минимальный из всех возможных.

задан 24 Ноя '18 11:36

3

$$a^2=b(b+c),c<a+b,c^2>a^2+b^2,(a,b,c)=(28,16,33).$$

(24 Ноя '18 13:21) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Будем использовать стандартные обозначения для длин и углов. По теореме синусов, $%\frac{b}{\sin\beta}=\frac{a}{\sin2\beta}$%, откуда $%\cos\beta=\frac{a}{2b}$%. С другой стороны, по теореме косинусов $%\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$%. Отсюда следует равенство $%b(a^2+c^2-b^2)=a^2c$%, то есть $%b(c^2-b^2)=a^2(c-b)$%. Сокращая на $%c-b > 0$%, имеем $%b(c+b)=a^2$%. Отметим, что не так давно была задача про треугольник, в котором один из углов вдвое больше другого, и это условие на длины там было указано в одном из решений.

Если числа $%b$%, $%c$% делятся на некоторое простое $%p$%, то $%a$% также делится, и на $%p$% можно сократить, уменьшая периметр. Поэтому считаем, что $%b$%, $%c+b$% взаимно просты, откуда следует, что существуют натуральные $%u$%, $%v$%, для которых $%c+b=v^2$%, $%b=u^2$%, $%a=uv$%.

Неравенство треугольника $%c < a+b$% влечёт $%v^2-u^2 < u^2+uv$%, откуда $%(2v-u)^2 < (3u)^2$%, то есть $%u < v < 2u$%. Отсюда получается полная характеризация треугольников с условием, что один из углов вдвое больше другого. "Наименьшим" в этом смысле будет треугольник с условием $%u=2$%, $%v=3$% со сторонами $%4$%, $%5$%, $%6$%. Правда, при таком условии угол $%\gamma$% не только не является тупым, но даже не будет наибольшим.

Условие, что угол $%\gamma$% является тупым, означает $%\beta < 30^{\circ}$%, и наоборот. Это значит, что $%a > b\sqrt3$%. Таким образом, $%u\sqrt3 < v < 2u$%. Легко видеть, что при $%u\le3$% не найдётся целого $%v$%, поэтому $%u\ge4$%. Для этого значения подходит $%v=7$%, что приводит к треугольнику со сторонами $%b=16$%, $%a=28$%, $%c=33$%. Его периметр равен $%77$%, и все условия при этом выполнены.

Осталось обосновать, что такое значение периметра будет наименьшим. Если это не так, что $%v < 7$%, то есть $%v\le6$%, откуда $%u < 2\sqrt3 < 4$%, но это невозможно.

ссылка

отвечен 24 Ноя '18 13:56

@falcao, большое спасибо!

(24 Ноя '18 14:44) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,708
×1,130
×670
×408
×2

задан
24 Ноя '18 11:36

показан
246 раз

обновлен
24 Ноя '18 14:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru