Пусть функция $%f: \mathbb{R} → \mathbb{R}$% непрерывная. Пусть функция $%g: \mathbb{R} → \mathbb{R}$% задана как расстояние от точки $%T(2018,2018)$% до точки $%M(x,f(x))$%. Доказать, что $%g$% непрерывная функция. Доказать, что $% g(\mathbb{R})=[ζ,+∞)$%, где $%ζ∈\mathbb{R}$% и $%ζ≥0$%.

задан 27 Ноя '18 2:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

Функцию $% g(x) $% запишем по определению расстояния в $% \mathbb{R}^{2} $%: $$ g(x) = \sqrt{(2018 - x)^2 + (2018 - f(x))^2} .$$

Докажем по определению непрерывности: функция $% g(x) $% непрерывна тогда и только тогда, когда $$ \forall x_{0} \in \mathbb{R} \quad \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) = g(x_{0}) .$$

Далее, имея начальные данные, посчитаем предел из определения. $$ \lim_{x \rightarrow x_{0}} g(x) = \lim_{x \rightarrow x_{0}} \sqrt{(2018 - x)^2 + (2018 - f(x))^2} = \sqrt{(2018 - x_{0})^2 + (2018 - f(x_{0}))^2} = g(x_{0}) .$$

Последние два равенства верны вследствие непрерывности функции $% f(x) $%. Значит, функция $% g(x) $% непрерывна (на множестве $% \mathbb{R} $%).

Далее докажем, что $% g(\mathbb{R}) = [\zeta; +\infty) $%, где $% \zeta \in \mathbb{R} $% и $% \zeta \geq 0 .$% Решив уравнение $% \frac{\partial g(x)}{\partial x} = 0 $%, найдем точки $% x $%, в которых ислледуемое расстояние либо минимально, либо максимально. Так как $% g(x) $% ограничена нулём снизу, то точки минимума всегда существуют, следовательно существует искомое $% \zeta \in \mathbb{R}, \zeta \geq 0 $%, являющееся наименьшим значением функции $% g(x) $% на множестве $% \mathbb{R} $% (глобальным минимумом).

ссылка

отвечен 27 Ноя '18 3:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,945
×132

задан
27 Ноя '18 2:13

показан
70 раз

обновлен
27 Ноя '18 3:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru