Решите в целых числах уравнение $$x^3+y^3+z^3=2008$$

задан 28 Ноя '18 1:47

1

Неужели? И что, есть все решения?

(28 Ноя '18 2:19) spades

@spades, ну как минимум три есть: (10, 10, 2), (12, 6, 4), (13, -5, -4).

(28 Ноя '18 2:29) Казвертеночка
3

@Казвертеночка: а я решения с натуральными даже не рассматривал, хотя 1000+1000+8 ну уж совсем очевидно!

(28 Ноя '18 2:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вот, например, известный список кубов дающих 251. И вряд ли он полон.
$%17^3 + 13^3 -19^3=251$%
$%83^3 + 54^3 -90^3=251$%
$%443^3 + 318^3 -492^3=251$%
$%564^3 + 227^3 -576^3=251$%
$%611^3 -431^3 -529^3=251$%
$%668^3 + 139^3 -670^3=251$%
$%763^3 -466^3 -700^3=251$%
$%1123^3 + 386^3 -1138^3=251$%
$%1275^3 -583^3 -1233^3=251$%
$%1880^3 + 376^3 -1885^3=251$%
$%4955^3 -2932^3 -4586^3=251$%
$%7104^3 -3301^3 -6858^3=251$%
$%8714^3 -2645^3 -8632^3=251$%
$%8867^3 -2400^3 -8808^3=251$%
$%901374^3 + 322851^3 -914974^3=251$%
$%1900244^3 -44253^3 -1900236^3=251$%
$%2133640^3 -1361749^3 -1929910^3=251$%
$%7541501^3 + 661225^3 -7543195^3=251$%
$%24004636^3 -15257392^3 -21743773^3=251$%
$%71255533^3 + 47538527^3 -77706889^3=251$%
$%400993742^3 + 231400942^3 -425190445^3=251$%
$%596470121^3 -421787003^3 -515729827^3=251$%
$%1255348449^3 -521451489^3 -1224610909^3=251$%

Думаю, даже вопрос о конечности решений вряд ли решен.

ссылка

отвечен 28 Ноя '18 2:32

изменен 28 Ноя '18 2:32

@spades, ну тогда хотя бы в натуральных.

(28 Ноя '18 2:33) Казвертеночка
2

Это вряд ли интересно. Обычный небольшой и нудный перебор.
В первоисточнике задача так и выглядела?
Или это ваши "оптимизации"?

(28 Ноя '18 2:42) spades
1

Для натуральных решений всего два (с точностью до симметрии). Это несложно проверить вручную. Числа там не больше 12, причём сразу можно сказать, что либо два из них сравнимы с 1 по модулю 3, а одно сравнимо с -1, либо два числа кратны 3, а одно даёт остаток 1. Это существенно сокращает число вариантов.

(28 Ноя '18 2:42) falcao

@spades, @falcao, "В первоисточнике задача так и выглядела? Или это ваши "оптимизации"?" ....................... Сейчас катринку пришлю.

(28 Ноя '18 17:16) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
4

Если под "решите" понимается нахождение всех решений, то это вряд ли можно сделать.

Про уравнение x^3+y^3+z^3=k известно, что оно имеет решения в целых числах только при условии, что k не сравнимо с 4 или 5 по модулю 9. Если сравнимо, то решений нет. Если не сравнимо, то не известно, всегда ли есть решения, однако контрпримерами никто не располагает.

В ряде старых популярных книг приводится пример уравнения x^3+y^3+z^3=30, про наличие решений которого ничего не было известно. На рубеже двух тысячелетий нашли пример решения (числа там по модулю порядка двух миллиардов). Сравнительно недавно нашли второе решение с ещё большими числами. Вероятнее всего, их бесконечно много, но это пока что никто доказывать не умеет. То есть до описания всех решений тут совсем далеко. А про разрешимость уравнения x^3+y^3+z^3=33 ничего не известно и по сей день.

Что касается числа 2008, то по крайней мере одно решение можно найти даже вручную. Возьмём близкий по величине куб 13^3=2197. Разность 2197-2008 равна 189=5^3+4^3. То есть тройка (13,-5,-4) -- пример решения. Попутно можно найти ещё решение, если заметить, что 198=6^3-3^3 (по мотивам известного всем равенства 3^3+4^3+5^3=6^3). Получается тройка (13,3,-6).

Есть и другие решения, но их уже сложно найти без компьютера. Например, (34,26,-38), или (108,57,-113), или (108,166,-180) с тем же первым числом. Наверняка есть и что-то ещё.

ссылка

отвечен 28 Ноя '18 2:34

@falcao, большое спасибо!

(28 Ноя '18 17:18) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

А вот и обещанная катринка:

alt text

ссылка

отвечен 28 Ноя '18 17:18

1

В натуральных числах это пусть и плохая и неинтересная задача, но школьная.
В целых - на 10 порядков интересней, но уже для звёзд типа Ноама Элкиса))

(28 Ноя '18 18:58) spades
1

@spades: тут, судя по всему, возможен какой-то "культурный" перебор вариантов. Такие вещи иногда оказываются красивыми в плане придумывания оригинального плана перебора с убедительным доказательством. Хотя, конечно, принципиально тут нет ничего "сногсшибательного".

(28 Ноя '18 21:01) falcao

@spades, кто такой Ноам Эликс? Чем он лучше Кирочки Радинской?

(28 Ноя '18 21:54) Пацнехенчик ...

@Пацнехенчик ..., Ноам Элькис - это вот кто: https://en.wikipedia.org/wiki/Noam_Elkies

(29 Ноя '18 3:22) Казвертеночка

@spades, а Кирочка Радинская...

Знакомьтесь, Кира Радински. Вундеркинд, профессор и миллионер.

В 15 поступила в Технион, в 26 защитила докторат и вошла в список 35 наиболее перспективных молодых ученых от MIT.

При всём при этом у Киры хватает времени, сил и прочих ресурсов на занятия каратэ (у неё чёрный пояс), и на воспитание маленькой дочери, которая, я надеюсь, вся пойдёт в свою маму. Подробнее о Кире можно почитать здесь: https://isroe.co.il/vunderkind-professor-millioner-kira-radinski/?fbclid=IwAR3ERw9vgH7DEB0IWtBBSIUfMRZ4MBao9g9CquqWnEV0WtsDBZU_Tiaz_YI

(29 Ноя '18 3:29) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, Кирочка Радинская вольна делать, что угодно. Я ей ничего не запрещал

(29 Ноя '18 8:25) spades
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,062
×27
×18
×5
×2

задан
28 Ноя '18 1:47

показан
263 раза

обновлен
29 Ноя '18 8:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru