Являетcя ли множеcтво вычетов 2Zn максимальным идеалом в Zn?

задан 28 Ноя '18 21:43

Если n нечётно, что 2Zn=Zn. Этот случай не считается максимальным идеалом, так как последний по определению является собственным. Если же n чётно, то рассматриваемое подмножество является собственным, и оно замкнуто относительно разности и относительно умножения на элементы кольца. Значит, это идеал. Его индекс как абелевой подгруппы равен 2, поэтому между ним и всем кольцом идеалов нет. То есть он максимален.

(28 Ноя '18 22:17) falcao

@falcao, не очень понятно почему если четно, то подмножество является собственным

(30 Ноя '18 1:36) san123

@san123: это очевидно, поскольку остаток от деления чётного числа на чётное n всегда чётен. Значит, остаток в Zn не попадёт.

(30 Ноя '18 2:08) falcao

Выше имелось в виду "остаток 1 в Zn не попадёт".

(30 Ноя '18 22:25) falcao

@falcao, можете, пожалуйста, пояснить почему полученный идеал максимальный?

(30 Ноя '18 23:16) san123

@san123: всякий идеал есть также абелева подгруппа. По теореме Лагранжа, порядок подгруппы делит порядок группы. У нас при чётном n=2k имеется подгруппа чётных остатков {0,2,4,...,2(k-1)}, в которой k элементов. Если бы идеал не был максимален, то строго между подгруппой порядка k и группой порядка 2k находилась бы ещё какая-то подгруппа порядка m, где k < m < 2k. При этом m делится на k ввиду сказанного выше. Тогда число m/k целое, и выполнены неравенства 1 < m/k < 2. Но строго между 1 и 2 целых чисел нет.

(30 Ноя '18 23:59) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×73

задан
28 Ноя '18 21:43

показан
114 раз

обновлен
30 Ноя '18 23:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru