|
Являетcя ли множеcтво вычетов 2Zn максимальным идеалом в Zn? задан 28 Ноя '18 21:43 
san123
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
28 Ноя '18 21:43
показан
114 раз
обновлен
30 Ноя '18 23:59
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Если n нечётно, что 2Zn=Zn. Этот случай не считается максимальным идеалом, так как последний по определению является собственным. Если же n чётно, то рассматриваемое подмножество является собственным, и оно замкнуто относительно разности и относительно умножения на элементы кольца. Значит, это идеал. Его индекс как абелевой подгруппы равен 2, поэтому между ним и всем кольцом идеалов нет. То есть он максимален.
@falcao, не очень понятно почему если четно, то подмножество является собственным
@san123: это очевидно, поскольку остаток от деления чётного числа на чётное n всегда чётен. Значит, остаток в Zn не попадёт.
Выше имелось в виду "остаток 1 в Zn не попадёт".
@falcao, можете, пожалуйста, пояснить почему полученный идеал максимальный?
@san123: всякий идеал есть также абелева подгруппа. По теореме Лагранжа, порядок подгруппы делит порядок группы. У нас при чётном n=2k имеется подгруппа чётных остатков {0,2,4,...,2(k-1)}, в которой k элементов. Если бы идеал не был максимален, то строго между подгруппой порядка k и группой порядка 2k находилась бы ещё какая-то подгруппа порядка m, где k < m < 2k. При этом m делится на k ввиду сказанного выше. Тогда число m/k целое, и выполнены неравенства 1 < m/k < 2. Но строго между 1 и 2 целых чисел нет.