Добрый день!
Задача следующая:
Назовем матрицу вращательной, если при повороте на 90$%^∘$% вокруг центра она не меняется.
(a) Докажите, что для любого набора чисел $%\lambda_1, ..., \lambda_k$% найдется $%n \in N$% и вращательная матрица $%n \times n$%, для которой $%\lambda_1, ..., \lambda_k$% являются собственными значениями.
(б) Докажите, что у вращательной матрицы с действительными коэффициентами все собственные векторы v с отличными от нуля действительными собственными значениями симметричны (то есть $%v_i=v_{n−i+1}$%).
Несколько не в тему, но относится к моим рассуждениям по задаче. Собственные значения симметричных матриц могут ведь быть любыми действительными числами? А вырожденных симметричных? Мне кажется, что это так, но доказать строго не получается.

задан 30 Ноя '18 14:50

@shinyShy: определение непонятно. Что значит "матрица не меняется при повороте"? Ведь саму матрицу мы не поворачиваем. Это может означать, например, то, что если мы базис поворачиваем на 90 градусов, то матрица в новом базисе не меняется. То есть матрица коммутирует с таким поворотом. Это имелось в виду или что-то другое?

(30 Ноя '18 18:12) falcao

хм, я это понимаю как просто поворот чисел в матрице, т.е матрицы вида $%\begin{matrix} a a a \#\ a b a\#\ a a a \end{matrix}$%.Т.е., числа в матрицах расположены "кольцом". Другая интерпретация в голову не приходила как-то. мне не у кого уточнить условие, к сожалению. Это задача из отобра в школу анализа данных от Яндекса, 2017 года. Думаю, если бы имелась в виду инвариантность относительно поворота базиса, так бы и написали.

(30 Ноя '18 18:20) shinyShy
10|600 символов нужно символов осталось
0

(а) Рассмотрим вначале, как выглядит данная матрица. Для нечётного $% n $% : \begin{pmatrix} c^1 & c^4 & c^3 & c^2 & c^1 \newline c^2 & b^1 & b^2 & b^1 & c^4 \newline c^3 & b^2 & a^1 & b^2 & c^3 \newline c^4 & b^1 & b^2 & b^1 & c^2 \newline c^1 & c^2 & c^3 & c^4 & c^1 \end{pmatrix} Для чётного $% n $% : \begin{pmatrix} c^1 & c^5 & c^4 & c^3 & c^2 & c^1 \newline c^2 & b^1 & b^3 & b^2 & b^1 & c^5 \newline c^3 & b^2 & a^1 & a^1 & b^3 & c^4 \newline c^4 & b^3 & a^1 & a^1 & b^2 & c^3 \newline c^5 & b^1 & b^2 & b^3 & b^1 & c^2 \newline c^1 & c^2 & c^3 & c^4 & c^5 & c^1 \end{pmatrix} (Использую верхние индексы, т.к. нижние не отображаются в матрицах. Это не степень, а именно индекс. Обозначать степень буду так $% (a^i)^b - $% a $% i $% -тый в степени $% b $%) Рассмотрим случай с нечётным $% n $% и положим элементы вне главной или побочной диагоналей равными 0. Тогда матрица приобретает вид: \begin{pmatrix} a^k & 0 & \dots & \dots & 0 & a^k \newline 0 & \ddots & 0 & 0 & \dots & 0 \newline \vdots & 0 & a^1 & a^1 & 0 & \vdots \newline \vdots & 0 & a^1 & a^1 & 0 & \vdots \newline 0 & \dots & 0 & 0 & \ddots & 0 \newline a^k & 0 & \dots & \dots & 0 & a^k \end{pmatrix} Рассмотрим определитель: $% det_k = \begin{vmatrix} a^k - \lambda & 0 & \dots & \dots & 0 & a^k \newline 0 & \ddots & 0 & 0 & \dots & 0 \newline \vdots & 0 & a^1 - \lambda & a^1 & 0 & \vdots \newline \vdots & 0 & a^1 & a^1 - \lambda & 0 & \vdots \newline 0 & \dots & 0 & 0 & \ddots & 0 \newline a^k & 0 & \dots & \dots & 0 & a^k - \lambda \end{vmatrix} $% Заметим, что $% det_k = (a^k - \lambda)^2 \cdot det_{k - 1} - (a^k)^2 \cdot det_{k - 1} $%, исходя из формулы определителя через все возможные подстановки. Подстановки, соответствующие ненулевым слагаемым разбиваются на 2 вида: те, которые включают первый и последний элементы главной диагонали и те, которые включают первый и последний элементы побочной. Чётность подстановок 1-го вида совпадает с их чётностью без 1-го и последнего элементов подстановок, а чётность любой подстановки 2-го вида является противоположной её чётности без первого и последнего элементов, так как транспозиция этих элементов даёт подстановку, с той же чётностью, что и без них. $% det_1 = (a^1 - \lambda)^2 - (a^1)^2 = \lambda^2 - 2a^1\lambda = \lambda(\lambda - 2a^1)$% $% det_k = (a^k - \lambda)^2 \cdot det_{k - 1} - (a^k)^2 \cdot det_{k - 1} = det_{k - 1} \cdot (\lambda^2 - 2a^k\lambda) = det_{k - 1} \cdot \lambda(\lambda - 2a^k) $% Таким образом $% det_k = (\lambda)^k \cdot (\lambda - 2a^1)\cdot \ldots \cdot(\lambda - 2a^k) $% А следовательно, чтобы заданный набор $% \lambda_1, \ldots , \lambda_k $% являлся собственными числами достаточно выбрать $% a^1, \ldots , a^k $% равными $% \frac{\lambda_1}{2}, \ldots , \frac{\lambda_k}{2} $%

(б) Заметим, что для любой такой матрицы транспонирование является переворотом всех столбцов. $% \begin{pmatrix} c^1 & c^5 & c^4 & c^3 & c^2 & c^1 \newline c^2 & b^1 & b^3 & b^2 & b^1 & c^5 \newline c^3 & b^2 & a^1 & a^1 & b^3 & c^4 \newline c^4 & b^3 & a^1 & a^1 & b^2 & c^3 \newline c^5 & b^1 & b^2 & b^3 & b^1 & c^2 \newline c^1 & c^2 & c^3 & c^4 & c^5 & c^1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} c^1 & c^2 & c^3 & c^4 & c^5 & c^1 \newline c^5 & b^1 & b^2 & b^3 & b^1 & c^2 \newline c^4 & b^3 & a^1 & a^1 & b^2 & c^3 \newline c^3 & b^2 & a^1 & a^1 & b^3 & c^4 \newline c^2 & b^1 & b^3 & b^2 & b^1 & c^5 \newline c^1 & c^5 & c^4 & c^3 & c^2 & c^1 \end{pmatrix} $%

Пусть $% \lambda $% - некоторое ненулевое собственное число вращательной матрицы $% A_n $%, а $% X_n = (x_1, \ldots , x_n)^T $% - соответствующий собственный вектор. Пусть $% X_n^R = (x_n, \ldots , x_1)^T $%. Тогда $% A_n \cdot X_n = \lambda X_n $%, а $% A_n^T \cdot X_n = \lambda X_n^R $% Поскольку оператор $% A_n^T $% является сопряжённым к $% A_n $%, $% \langle A_n \cdot X_n, X_n \rangle = \langle X_n, A_n^T \cdot X_n \rangle $%. Т.е. $% \langle \lambda X_n, X_n \rangle = \langle X_n, \lambda X_n^R \rangle $% т.е. $% \lambda \langle X_n, X_n \rangle = \lambda \langle X_n, X_n^R \rangle $%. Т.к. $% \lambda \neq 0 $%, $% \langle X_n, X_n \rangle = \langle X_n, X_n^R \rangle $%. Этого уже достаточно для равенства $% X_n = X_n^R $%. Докажем это. Заметим, что $% x_i^2 + x_{n - i + 1}^2 \geqslant 2x_ix_{n - i + 1}^2 $%, т.к. $% x_i^2 - 2x_ix_{n - i + 1}^2 + x_{n - i + 1}^2 \geqslant 0 $%, т.к. $%(x_i - x_{n-i+1})^2 \geqslant 0$%. Для примера возьмём n = 7.

$% (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2) - $% $% (x_1 \cdot x_7 + x_2 \cdot x_6 + x_3 \cdot x_5 + x_4 \cdot x_4 + x_5 \cdot x_3 + x_6 \cdot x_2 + x_7 \cdot x_1) = $% $% (x_1 - x_7)^2 + (x_2 - x_6)^2 + (x_3 - x_5)^2 $%

$% (x_1 - x_7)^2 + (x_2 - x_6)^2 + (x_3 - x_5)^2 \geqslant 0 $%

Данное выражение обращается в 0 только при $% x_1 = x_7, x_2 = x_6, x_3 = x_4 $%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 19 Авг '19 17:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,589
×40
×21

задан
30 Ноя '18 14:50

показан
1238 раз

обновлен
19 Авг '19 17:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru