Даны 635 карточек, на каждой из которых написано одно натуральное число от 1 до 635 (каждое число встречается ровно один раз). Из этих карточек выбирается случайным образом 25 штук и рассматривается случайная величина, равная сумме чисел, написанных на всех двадцати пяти карточках. Найдите дисперсию данной случайной величины. Ответ округлите до ближайшего целого числа.

задан 1 Дек 20:29

10|600 символов нужно символов осталось
4

Здесь можно вывести общую формулу. Пусть даны числа от $%1$% до $%n$%, и из них случайным образом извлекают $%m\le n$%. Обозначим через $%X_1$%, ... , $%X_m$% значения чисел в порядке их извлечения. Положим $%S_m=X_1+\cdots+X_m$%. Ясно, что $%MX_i=\frac{1+2+\cdots+n}n=\frac{n+1}2$% для всех $%i$%, откуда $%MS_m=\frac{m(n+1)}2$%.

Далее, $%MS_m^2=M(X_1+\cdots+MX_n)^2=(MX_1^2+\cdots+MX_m)^2+\sum\limits_{i\ne j}MX_iX_j$%. Находим $%MX_i^2=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}n=\frac{(n+1)(2n+1)}6$% согласно известной формуле для суммы квадратов первых $%n$% натуральных чисел, и далее $%MX_iX_j=\frac{\sum\limits_{i\ne j}ij}{n(n-1)}=\frac{(1+\cdots+n)^2-(1^2+\cdots+n^2)}{n(n-1)}=\frac{(n+1)(3n+2)}{12}$%.

Отсюда получается $%MS_m^2=\frac{m(n+1)(2n+1)}6+\frac{m(m-1)(n+1)(3n+2)}{12}=\frac{m(n+1)(3mn+n+2m)}{12}$%, и далее $%DS_m=MS_m^2-(MS_m)^2=\frac{m(n+1)(3mn+n+2m)}{12}-\frac{m^2(n+1)^2}4=\frac{m(n+1)(n-m)}{12}$%.

Остаётся подставить в эту формулу значения $%n=635$% и $%m=25$%.

ссылка

отвечен 2 Дек 2:47

1

спасибооо большое!!!!

(2 Дек 10:26) олеголег
10|600 символов нужно символов осталось
0

falcao, мне кажется, что у вас тут ошибка, так как у вас все элементарные мат.ожидания равны, хотя заметно, что 20-ый раз мы выбираем уже совсем не из 635 и мат.ожидание деформируется. Ваш случай работает для кубиков или выбор с возвращением.

Численно проверяя, можно заметить, что дисперсия несколько меньше.(как и должно быть, так как хвосты распределения несколько укорачиваются, размах уменьшается. и всякие подобные интуиции)

Решения лучше у меня нет, к сожалению.

ссылка

отвечен 6 Дек 2:44

@Tempary: когда мы выбираем 20-ю карточку, значение на ней может быть равно любому из 635 чисел с равной вероятностью. Поэтому матожидание 20-го слагаемого будет такое же, как у первого. Верно то, что случайные величины здесь зависимы, однако матожидание суммы равно сумме матожиданий для любых случайных величин -- зависимых в том числе.

Я здесь численно проверял ответ методом Монте-Карло для многих значений n и m. Формула себя совершенно оправдала при этом.

Эффект уменьшения дисперсии проявляет себя в наличии множителя n-m. Чем ближе одно к другому, тем дисперсия меньше (при n=m это 0).

(6 Дек 2:52) falcao

@Tempary, мат. ожидания $%X_{1}, X_{2}$% равны: $%EX_{1} = \frac{1 + 2 + .... + n}{n}$%. Обозначим $% 1 + 2 + ... + n$% за $%S.$% Тогда $%EX_{2} = \sum\limits_{i=1}^{n} E(X_{2}|X_{1})P(X_{1}=i) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{S-i}{n-1}=\frac{S}{n}=EX_{1}$%. Далее, это докозательство по индукции можно продолжить и на последующии с.в. $%X_{3}, ..., X_{m}$%

(10 Дек 22:32) Malahai

@Malahai: то, что все X(i) распределены одинаково, ясно без подсчётов, поскольку на втором, третьем, ... шагах вероятность извлечь карточку с данным номером равна 1/n, как и на первом. Это следует из простых соображений симметрии (возможности переобозначения карточек, при которой все вероятности сохраняются).

(11 Дек 4:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×12

задан
1 Дек 20:29

показан
607 раз

обновлен
11 Дек 4:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru