1
1

alt text

a) Про всё множество и пустое множество понятно.

Пересечение: Пусть есть два открытых множества. Если им обеим не принадлежит inf, то их пересечению тоже не принадлежит. Если дополнение к обоим конечно, то и к их пересечению конечно по де Моргану. А что если одно не содержит inf, а дополнение к другому конечно?

Объединение: Пусть есть семейство открытых множеств. Как тут оптимальнее рассуждать? Какие случаи рассматривать? Потом бесконечного де Моргана применять?

С пунктами б) - г) тоже проблемы... Есть подозрение, что пространство компактно (в частности на пункт г) ответ отрицательный)

задан 3 Дек 1:03

изменен 3 Дек 1:05

@numerist: про пересечение -- если inf не принадлежит хотя бы одному, то не принадлежит пересечению.

Про объединение: если inf не принадлежит объединению, то всё доказано. В противном случае есть член объединения с конечным дополнением. У всего, что его содержит, дополнение также конечно.

(3 Дек 5:12) falcao

Компактность очевидна: есть член покрытия, содержащий inf. Он не покрывает лишь конечное число элементов. Для каждого из них оставляем член покрытия.

(3 Дек 5:14) falcao

Как из последнего предложения первого комментария следует, что объединение открытых открыто?

Второй комментарий: почему он не покрывает лишь конечное число элементов?

(3 Дек 5:24) numerist

И каковы связные подмножества? Предположу, что они одноэлементны. Это так?

(3 Дек 18:32) numerist

@numerist: ещё могут быть 2-элементные -- из одного натурального числа и inf.

(3 Дек 18:35) falcao

А как это всё доказывать? Понятно, что по определениям, но с этой топологией не понятно... И не могли бы Вы ответить на первый комментарий?

(3 Дек 18:52) numerist

@numerist: по первому комментарию (я его не заметил). Объединение содержит любой из своих членов. Если один из их имеет конечное дополнение, то понятно, что всякое содержащее его множество также имеет конечное дополнение.

Про компактность: открытое множество, содержащее inf, имеет конечное дополнение. Значит, оно покрывает всё кроме конечного числа элементов. Честно говоря, мне кажутся странными эти два вопроса -- ведь речь идёт о тавтологичных вещах.

Про пункт г): там подходит {1-1/n|n>=1}U{1}. Отсюда видны все связные множества: пустое и одноточечные. А inf+точка не связно.

(4 Дек 2:11) falcao

То есть всё таки все связные подмножества одноэлементны? Не понятно, как это следует из г. И как доказать, что {1-1/n|n>=1}U{1} гомеоморфно N с чертой?

Также остается непонятный пункт в).

(4 Дек 6:59) numerist

@numerist: пункт г) представляет собой окончательную "разгадку" этой задачи. Она так и была придумана: взяли описанное множество на прямой (монотонная последовательность точек, и её предел), а потом описали, какие подмножества в ней открыты. Здесь уже есть биекция, поэтому для проверки гомеоморфности достаточно увидеть, что "запас" открытых множеств один и тот же. Берёте пересечения множества X на прямой с интервалами, и это даёт базу топологии.

Про связность отсюда всё также следует: между двумя различные точки их X есть точка не из X. Значит, их можно разделить.

(4 Дек 8:51) falcao

Про в): непрерывные функции из R в X постоянны, так как принимают все промежуточные значения. Из X в R -- нужно, чтобы f(n) стремилось к f(inf).

(4 Дек 8:53) falcao

X - это {1-1/n|n>=1}U{1}? Биекция потому что оба множества счетны? "Берёте пересечения множества X на прямой с интервалами, и это даёт базу топологии. " И что? Как это доказывает, что там открыты те же множества, что и в N с чертой? И если это так, как строится гомеоморфизм?

(5 Дек 0:50) numerist

@numerist: биекция изначально задана по правилу n->1-1/n, inf->1. То, что база открытых множеств та же самая, автоматически даёт гомеоморфизм. Мы про это уже говорили многократно. Что касается основной проверки, то она несложная, и по подсказке можно было бы проделать её самостоятельно. Возьмите интервал (a,b) на прямой, рассмотрите случаи, когда 1 ему принадлежит и когда нет. Сравните то, что получилось в X, и то, что ему соответствует в N U {inf}.

(5 Дек 2:08) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×267

задан
3 Дек 1:03

показан
61 раз

обновлен
5 Дек 2:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru