К кубу целого числа прибавили единицу и получили степень тройки с целым неотрицательным показателем. Чему может быть равен этот показатель? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

задан 3 Дек '18 1:45

2

$$(x+1)(x^2-x+1)=3^y\Rightarrow x=3^z-1\Rightarrow 3^{2z}-3\cdot3^z+1=3^t\Rightarrow z=1,x=2,y=2.$$

(3 Дек '18 2:25) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, это не единственное решение.

(3 Дек '18 3:29) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: понятно, что есть ещё случай 0^3+1=3^0, но это уже чистая формальность.

(3 Дек '18 4:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Имеем $% x^3 + 1 = 3^y$%, где $% x $% - исходное целое число, $% y $% - исходный неотрицательный целый показатель.

Заметим, что так как $% 3^y \equiv 0 \pmod 3 $%, то $% x^3 + 1 \equiv 0 \pmod 3 $%. Далее $$ x^3 + 1 \equiv 0 \pmod 3 \Rightarrow x^3 \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow x \equiv 2 \pmod 3 .$$

Последнее получили из того, что $% x^3 \equiv x \pmod 3 $%.

Тогда $% x = 3k + 2, \quad k \in \mathbb{Z} $%. Теперь найдем $% k $% такие, что $% (3k + 2)^3 + 1 = 3^y $%. $$ (3k + 2)^3 + 1 = 3^2 (k + 1) (3k^2 + 3k + 1).$$ Положим $% k = 3^z - 1 $%, тогда $% 3^2 (k + 1) (3k^2 + 3k + 1) = 3^{2 + z} (3^{2z+1} - 3^{z+1} + 1)$%.

$% (3^{2z+1} - 3^{z+1} + 1) $% либо равно $% 1 $%, либо есть степень тройки, но $% (3^{2z+1} - 3^{z+1} + 1) \equiv 1 \pmod 3 $%, значит $%z = 0 \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2 $%, что есть одно из возможных значений показателя.

UPD. По замечанию @falcao : рассмотрим $% y = 0 $% отдельно, так как $% 3^0 \equiv 1 (\neq 0) \pmod 3 $%, тогда $% x^3 + 1 = 1 $%, $% x = 0 $%, то есть ещё одно значение показателя - $% 0 $%.

ссылка

отвечен 3 Дек '18 4:37

изменен 3 Дек '18 11:31

2

@elman: 3^y может не делиться на 3 при y=0, то есть этот случай оговаривается отдельно.

(3 Дек '18 4:55) falcao
2

@elman: x^3+1 должно быть степенью тройки. В "вырожденном" случае это 0^3+1=3^0. То есть x=0, y=0.

(3 Дек '18 11:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,014
×184
×166
×100
×18

задан
3 Дек '18 1:45

показан
120 раз

обновлен
3 Дек '18 11:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru