Для линейного дифференциального оператора $%A$% с областью определения $%D_A$% построить обратный оператор.

Условие: $% A[x] = x'', \quad D_A = \{ x \in C^{2} [0;2]: x'(0) - x(0) = x(2) - 2 x'(2) = 0\}$%.

Здесь $% C^2[a;b]$% - пространство функций, дважды непрерывно дифференцируемых на $% [a;b] $%.

задан 4 Дек 4:18

изменен 4 Дек 5:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%x''(t)=y(t)$%, где задана непрерывная на $%[0,2]$% функция $%y(t)$%. Тогда $%x'(t)=\int\limits_0^ty(s)\,ds+C_1$%, где $%x'(0)=C_1$%. Интегрируя ещё раз, имеем $%x(t)=\int\limits_0^t d\sigma\int\limits_0^{\sigma}y(s)\,ds+C_1t+C_2$%. Здесь $%x(0)=C_2$%, откуда $%C_1=C_2=C$% из условия $%x'(0)=x(0)$%.

Осталось найти $%C$%. Имеем $%x(2)=\int\limits_0^2 d\sigma\int\limits_0^{\sigma}y(s)\,ds+3C$% и $%x'(2)=\int\limits_0^2y(\sigma)\,d\sigma+C$% (переменную интегрирования в последнем условии для удобства переименовали). Подставляя в условие $%x(2)=2x'(2)$%, имеем $%C=-\int\limits_0^2\left(\int\limits_0^{\sigma}y(s)\,ds-2y(\sigma)\right)\,d\sigma$%. Значение этой константы подставляем в формулу $%x(t)=\int\limits_0^t d\sigma\int\limits_0^{\sigma}y(s)\,ds+C(t+1)$%, получая выражение для обратного оператора $%y(t)\mapsto x(t)$%.

Для примера: при $%y(t)=t$% эти формулы дают $%x(t)=\frac16t^3+\frac83(t+1)$%. При $%y(t)=t^2$% получается $%x(t)=\frac1{12}t^4++4(t+1)$%, и так далее.

ссылка

отвечен 4 Дек 8:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,819
×413
×33

задан
4 Дек 4:18

показан
43 раза

обновлен
4 Дек 8:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru