$% \int \frac{cos(x)}{e^{2x}}dx $% Как проинтегрировать?

задан 4 Дек 5:29

изменен 4 Дек 5:43

По частям.

(4 Дек 5:42) elman

Можете по-подробнее рассказать, пожалуйста

(4 Дек 5:44) WIT

Для начала нужно "внести" $% e^{-2x} $% под знак дифференциала, тогда получим $% \int \cos(x) d \left( -\frac{e^{-2x}}{2} \right)$%. Косинус и экспонента непрерывные и гладкие, значит можно воспользоваться следующей формулой (это и есть интегирование по частям): $% \int u dv = uv - \int v du$%. Тогда получим аналогичный интеграл, но уже с синусом. Далее повторяем то же самое с полученным интегралом и в конце концов выражаем исходный интеграл.

(4 Дек 5:54) elman

@WIT: после двукратного интегрирования по частям, интеграл выразится сам через себя. Его нужно обозначить через $%I$%, и после применения указанного приёма он появится в правой части, но уже с новым коэффициентом, в сумме с конкретным выражением. После этого должен получиться ответ $%I=\frac15e^{-2x}(\sin x-2\cos x)$%.

(4 Дек 7:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%\int\cos x\cdot {e^{-2x}}dx = \Re \int {e^{(i-2)x}}dx=\Re \frac 1{i-2}e^{(i-2)x}=\frac15 \Re \left(e^{-2x}(-2-i)(\cos x+i \sin x)\right)=\\=\frac15 e^{-2x}(-2\cos x+ \sin x)$%

ссылка

отвечен 4 Дек 11:10

изменен 4 Дек 11:13

А с таким интегралом как быть $%\int \frac{x^2}{(x \sin(x)+\cos(x))^2} dx$%

(4 Дек 11:30) abc

К чему этот вопрос?

$%\Re \int e^{-2i(t-1)}\cdot \left(1-\frac 1t\right)^2dt, \quad t=x+1$%

(4 Дек 11:45) spades

Интересно стало

(4 Дек 11:47) abc

Интересно, выражается ли в элементарных?
На глаз, есть надежда, что после взятия по частям члена с $%t^{-2}$% слагаемое с $%t^{-1}$% сократится, но это всё мелкие фокусы.

(4 Дек 11:59) spades

$%\int \frac{x^2}{(x \sin(x)+\cos(x))^2} $% точно выражается в элементарных, maple не даст соврать. Вопрос как его логически найти. Может по частям как-то?

(4 Дек 12:41) abc

$%\int e^{-2it}\cdot 2t^{-1} dt = e^{-2it}\cdot t^{-1}+ \int e^{-2it}\cdot t^{-2} dt$% - и вредные дроби вроде уходят, если я с коэффициентами не напутал

(4 Дек 12:52) spades

Не понял а разве такое равенство правомерно? $%\frac{x^2}{(x \sin(x)+\cos(x))^2} = \Re e^{-2ix}\cdot \left(1-\frac{1}{x+1}\right)^2 $%

(4 Дек 13:19) abc

Вы правы, я слишком лихо сделал. Поаккуратнее надо. Через пару часов доберусь до стационарного, напишу. С телефона хочется полегче чтоб выходило)

(4 Дек 13:24) spades
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,819

задан
4 Дек 5:29

показан
96 раз

обновлен
4 Дек 13:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru