x_1=0, x_(n+1)=(1/4)^x_n, n=1,2,3...

задан 4 Дек 16:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Очевидно, что последовательность неотрицательна, следовательно, все $%0 < X_{n} < 1$% при $%n \ge 3$%...

Перепишем рекуррентную формулу в виде $$ X_{n+1} = 4^{-X_n} \quad \Rightarrow\quad X_{n} = 4^{-X_{n-1}} $$ Поделим одно равенство на другое $$ \frac{X_{n+1}}{X_n} = 4^{X_{n-1}-X_n}\;, $$ откуда следует, что $%(X_{n+1}-X_n)\cdot(X_n-X_{n-1}) < 0$%, то есть последовательность не монотонна...

Запишем ещё одно равенство $$ \frac{X_n}{X_{n-1}} = 4^{X_{n-2}-X_{n-1}} \quad \Rightarrow\quad \frac{X_{n+1}}{X_n}\cdot \frac{X_n}{X_{n-1}}= 4^{X_{n-1}-X_n}\cdot 4^{X_{n-2}-X_{n-1}} $$ или $$ \frac{X_{n+1}}{X_{n-1}}= 4^{X_{n-2}-X_n} \quad \text{и}\quad \frac{X_n}{X_{n-2}}= 4^{X_{n-3}-X_{n-1}}\;, $$ откуда следует, что $%(X_{n+1}-X_{n-1})\cdot(X_n-X_{n-2}) < 0$% и $%(X_n-X_{n-2})\cdot(X_{n-1}-X_{n-3}) < 0$% ... таким образом, $%(X_{n+1}-X_{n-1})\cdot(X_{n-1}-X_{n-3}) > 0$%, то есть подпоследовательность, состоящая только из чётных номеров - убывает, а только из нечётных номеров - возрастает... (тут ссылаемся на явные вычисления нескольких первых членов последовательности) ...

Итого, указанные последовательности монотонны и ограничены... следовательно, имеют пределы... Покажем, что пределы этих подпоследовательностей совпадают...

Обе подпоследовательности удовлетворяют рекуррентной формуле $$ X_{n+1} = 4^{-4^{-X_{n-1}}} $$ и отличаются только начальным членом...

Переходя к пределу в этой формуле получим, что предельное значение удовлетворяет уравнению $$ A = 4^{-4^{-A}} $$ Это уравнение можно переписать в виде $%4^{-A} = -\log_4 A$%, а для него нетрудно показать единственность решения, которое не зависит от начального члена подпоследовательности...

Итого, исходная последовательность сходится, а её предел является единственным решением либо написанного уравнения, либо уравнения попроще, которое получим предельным переходом в исходном соотношении... $%A=4^{-A}$% ... Цифири тут подобраны хорошо и решение легко можно угадать...

ссылка

отвечен 5 Дек 0:36

изменен 5 Дек 0:37

@all_exist: я очень похожим способом рассуждал. Было даже написано примерно 2/3 текста, но потом нужно было убегать, и концовку я решил оставить "на потом".

Были также идеи применить принцип сжимающих отображений, но не было уверенности, что его можно использовать, если это упражнение было дано для первого курса, например (что совершенно не исключено).

(5 Дек 0:55) falcao

Спасибо огромное

(6 Дек 6:54) Тигран
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×238

задан
4 Дек 16:11

показан
74 раза

обновлен
6 Дек 6:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru