Как найти группу автоморфизмов абелевой группы Q?

задан 5 Дек 1:58

изменен 5 Дек 2:12

@Autocellar: автоморфизмов Q как чего, какой структуры? Абелевой группы, или кольца (поля)?

(5 Дек 2:09) falcao

Абелевой группы.

(5 Дек 2:12) Autocellar
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для любого рационального k отличного от нуля имеется автоморфизм x->kx аддитивной группы рациональных чисел. Композиции автоморфизмов соответствует перемножение коэффициентов. Достаточно доказать, что все автоморфизмы имеют такой вид. Отсюда будет следовать, что Aut(Q)=Q*, то есть получится мультипликативная группа поля Q.

Пусть ф принадлежит Aut(Q). Положим k=ф(1). Ясно, что k отлично от 0=ф(0). Для любого натурального n имеем k=ф(1)=ф(n(1/n))=nф(1/n), откуда ф(1/n)=k/n. Далее, для любого целого m верно равенство ф(m/n)=ф(m(1/n))=mф(1/n)=km/n, и этим доказано, что ф(x)=kx для любого рационального x.

ссылка

отвечен 5 Дек 2:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×761
×344

задан
5 Дек 1:58

показан
54 раза

обновлен
5 Дек 2:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru