https://i107.fastpic.ru/big/2018/1205/3c/53ae20603b0cecd0033a6a9c6d51433c.png

Почему $%\pi^{-1}\pi(U)$% - объединение всех $%g(U), g\in G$%? Почему отсюда можно заключить, что $%\pi^{-1}(U)$% открыто? Тут используется непрерывность $%\pi$%? Почему оно непрерывно?

И из непрерывности мы только знаем, что если $%\pi$% непрерывно, то прообраз открытого открыт, но тут заключают, что поскольку прообраз какого-то открыт, то это "какое-то" множество открыто. Почему такое верно?

задан 5 Дек 4:29

изменен 5 Дек 4:30

1

Ну непрерывность pi следует из определения топологии факторпространства, но остальное всё ещё не ясно.

(5 Дек 4:43) numerist
1

Отображение п здесь сопоставляет каждому x его орбиту при действии группы G. Прообразом элемента п(x) будет множество всех элементов орбиты, то есть {gx|g \in G}. Соответственно, если U -- множество, то прообраз п(U) есть объединение всех множеств вида gU, где g пробегает G.

Ввиду того, что G -- группа гомеоморфизмов, всякий её элемент g переводит открытое множество в открытое. Поэтому gU всегда открыто, и объединение всех таких множеств тоже открыто.

На X/G определена топология: Y<=X/G считается открытым, когда п^{-1}(Y) открыто в X. Это доказывает, что п(U) открыто в X/G, т.е. п открыто.

(5 Дек 4:48) falcao
1

А почему верно "each of which contains at most one point of each orbit" в Шаге 1 и как отсюда биективность ограничения вытекает?

И смежный вопрос по шагу 2: почему "otherwise, two points of U_alpha would belong to the same orbit"? Какие две точки? Одна из них х. А другая - точка из пересечения U с gU? Но что если х - единственная точка пересечения?

(5 Дек 5:18) numerist

@numerist: была выбрана такая малая окрестность U точки x, для которой g0x=g1x влечёт g0=g1. Это возможно в силу определения вполне разрывного действия (properly discontinuous action). Тем самым, U не содержит различных точек одной орбиты по построению. Тогда то же верно для всех окрестностей вида gU, так как при действии g, точки одной орбиты остаются точками одной орбиты. Это даёт инъективность ограничения, а сюръективность имеет место, так как брали полный прообраз.

По поводу второго пока сходу не разобрался. Вроде бы, неподвижных точек там быть не должно, но надо смотреть подробнее.

(5 Дек 11:38) falcao

Всё равно не до конца понял, как из выбора U следует, что U не содержит различных точек одной орбиты. x лежит в U. Если у лежит в орбите х (и не равна х), то y=gx для нетривиального g. Верно ли что gx лежит в gU? Почему? Если да, то U и gU не пересекаются, и у не может лежать в U.

По второй части: тут что-то написано https://math.stackexchange.com/questions/1715615/proof-of-the-quotient-map-pi-x-to-x-g-is-a-covering-map-only-if-the-action?rq=1 Но я не понимаю, как из того ответа следует, что надо.

(5 Дек 19:22) numerist

Там говорится, что действие элемента g - это преобразование накрытия. Я знаю как факт, что преобразования накрытия действуют свободно, но даже из этого не ясно, как следует то, что надо

(5 Дек 19:51) numerist

@numerist: то, что gU={gu|u \in U} -- само собой разумеется. Такие вещи странно как-то даже обсуждать.

По второму: судя по обсуждению по ссылке, вопрос возник не на ровном месте. Я так и подумал, что там какие-то общие свойства накрытий должны были выполняться, и они где-то ранее могли отмечаться. Думаю, что Вы обладаете по этому поводу большей информацией нежели я, так как я предыдущего материала книги не видел. Если откуда-то следует, что действия свободны, это вроде как в точности есть то, чего не хватало.

(5 Дек 21:00) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,876
×267

задан
5 Дек 4:29

показан
52 раза

обновлен
5 Дек 21:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru