|
Докажите, что при $%0<х<\pi/2$%, справедливо неравенство $%cos(x)+x*sin(x)>1$%. задан 29 Апр '13 12:32 
IvanLife |
|
Функция $%f(x)=cosx+xsinx$% определена и непрерывна в $%[0;\pi/2],$% $% f(0)=1, f^{'}(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx>0,$% при $%x\in (0;\pi/2)\Rightarrow $% функция возрастает в $%[0;\pi/2]\Rightarrow f(x)>f(0),$% при $%x\in(0;\pi/2).$% Это означает, что $%cosx+xsinx>1,$% при $%x\in(0;\pi/2).$% отвечен 29 Апр '13 12:41 
ASailyan |
|
Рассмотрим функцию $%f(x)=\cos(x)+x\sin x$% на промежутке $%[0,\pi/2)$%. Ясно, что $%f(0)=1$%. Найдём производную: $%f'(x)=-\sin x+x\cos x+\sin x=x\cos(x) > 0$% на рассматриваемом промежутке. Значит, функция на этом множестве строго возрастает, и $%f(x) > f(0)=1$% для всех $%x\in(0,\pi/2)$%. отвечен 29 Апр '13 12:41 
falcao |