Добрый день! Задача следующая:
Найти наибольшее натуральное $%k$% такое, что при любом нечетном $%n$% число $%n^{12} − n^8 − n^4 + 1$% делится нацело на $%2^k$%.

задан 5 Дек 19:18

изменен 5 Дек 19:19

1

$$3^{12}-3^8-3^4+1=2^9\cdot5^2\cdot41\Rightarrow k\le9,$$ $$(2m-1)^{12}-(2m-1)^8-(2m-1)^4+1=$$ $$=2^7\left(m(m-1)\right)^2(2m^2-2m+1)^2(8m^4-16m^3+12m^2-4 m+1)\vdots2^9\Rightarrow k\ge9.$$

(5 Дек 19:29) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%n^{12}-n^8-n^4+1=(n^4-1)(n^8-1)=(n^4-1)^2(n^4+1)=(n^2-1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)=$%

$%=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)$%

Среди чисел $%n-1$%, $%n+1$% оба чётны, и одно делится на 4. Остальные множители чётны. Получается, что произведение делится на $%4^2\cdot2^2\cdot2^2\cdot2=2^9$%. Легко проверяется, что при $%n=3$% будет именно такой показатель степени. Значит, $%k=9$%.

ссылка

отвечен 5 Дек 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×680

задан
5 Дек 19:18

показан
43 раза

обновлен
5 Дек 19:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru