|
Докажите, что при $%\pi/4<х<3\pi/4$% справедливо неравенство $%cos(х)-x\cdot cos(x)>1-sin(x)-x\cdot sin(x) $% задан 29 Апр '13 12:37 
IvanLife |
|
$% cosx-xcosx>1-sinx-xsinx\Leftrightarrow cosx-xcosx+sinx+xsinx>1.$% Функция $%f(x)=cosx-xcosx+sinx+xsinx$% определена и непрерывна в $%[\pi/4;3\pi/4],$% $% f(\pi/4)=\sqrt2,$% $% f^{'}(x)=-sinx-cosx+xsinx+cosx+sinx+xcosx=$% $%=x(sinx+cosx)=x\sqrt2sin(\pi/4+x)>0,$% при $%x\in (\pi/4;3\pi/4)\Rightarrow $% функция возрастает в $%[\pi/4;3\pi/4]\Rightarrow f(x)>f(\pi/4),$% при $%x\in(\pi/4;3\pi/4).$% Это означает, что $%cos(x)-xcosx+sinx+xsinx>\sqrt2>1,$% при $%x\in(\pi/4;3\pi/4).$% отвечен 29 Апр '13 13:04 
ASailyan |
|
Здесь тот же принцип, что и в предыдущей задаче. Вводим функцию $%f(x)=\cos x-x\cos x-1+\sin x+x\sin x$%. Её значение в начальной точке равно $%f(\pi/4)=\sqrt{2}-1 > 0$%. Производная равна $%f'(x)=x(\sin x+\cos x)$%, что больше нуля на интервале $%(\pi/4,3\pi/4)$%. Последнее проще всего увидеть на основании того, что соответствующая дуга единичной окружности находится в области координатной плоскости, для которой сумма абсциссы и ординаты больше нуля. Отсюда следует возрастание функции, а потому и неравенство $%f(x) > 0$% на рассматриваемом интервале. отвечен 29 Апр '13 13:17 
falcao |
Подобный вопрос вы только что задавали. Метод Вам показали. Теперь решайте сами.
Да, мне тоже кажется, что однотипных вопросов задавать не следует.