Докажите, что при $%\pi/4<х<3\pi/4$% справедливо неравенство $%cos(х)-x\cdot cos(x)>1-sin(x)-x\cdot sin(x) $%

задан 29 Апр '13 12:37

изменен 1 Май '13 1:38

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Подобный вопрос вы только что задавали. Метод Вам показали. Теперь решайте сами.

(29 Апр '13 13:19) DocentI

Да, мне тоже кажется, что однотипных вопросов задавать не следует.

(29 Апр '13 13:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$% cosx-xcosx>1-sinx-xsinx\Leftrightarrow cosx-xcosx+sinx+xsinx>1.$%

Функция $%f(x)=cosx-xcosx+sinx+xsinx$% определена и непрерывна в $%[\pi/4;3\pi/4],$%

$% f(\pi/4)=\sqrt2,$%

$% f^{'}(x)=-sinx-cosx+xsinx+cosx+sinx+xcosx=$%

$%=x(sinx+cosx)=x\sqrt2sin(\pi/4+x)>0,$% при $%x\in (\pi/4;3\pi/4)\Rightarrow $%

функция возрастает в $%[\pi/4;3\pi/4]\Rightarrow f(x)>f(\pi/4),$% при $%x\in(\pi/4;3\pi/4).$%

Это означает, что $%cos(x)-xcosx+sinx+xsinx>\sqrt2>1,$% при $%x\in(\pi/4;3\pi/4).$%

ссылка

отвечен 29 Апр '13 13:04

изменен 29 Апр '13 13:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь тот же принцип, что и в предыдущей задаче. Вводим функцию $%f(x)=\cos x-x\cos x-1+\sin x+x\sin x$%. Её значение в начальной точке равно $%f(\pi/4)=\sqrt{2}-1 > 0$%. Производная равна $%f'(x)=x(\sin x+\cos x)$%, что больше нуля на интервале $%(\pi/4,3\pi/4)$%. Последнее проще всего увидеть на основании того, что соответствующая дуга единичной окружности находится в области координатной плоскости, для которой сумма абсциссы и ординаты больше нуля.

Отсюда следует возрастание функции, а потому и неравенство $%f(x) > 0$% на рассматриваемом интервале.

ссылка

отвечен 29 Апр '13 13:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×333
×265

задан
29 Апр '13 12:37

показан
1826 раз

обновлен
29 Апр '13 13:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru