Первая функция:
$$ \frac{sinz-z}{e^{iz}-1} $$
Как найти особые точки?

$$ \frac{e^z}{(sinz-2)z^2} $$ За версту видно особые точки $% z = 0$% , $% sinz = 2 $%, если с $% z = 0$% понятно как анализировать тип, то с $% sinz = 2$% не ясно.

задан 6 Дек 16:53

изменен 6 Дек 17:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Знаменатель обращается в ноль при $%e^{iz}=1$%, откуда $%z=2\pi k$%, где $%k$% целое. Отдельно рассмотрим случай $%z=0$%. Числитель эквивалентен $%-z^3/6$% при $%z\to0$%; знаменатель эквивалентен $%iz$%. Частное имеет конечный предел (равный нулю), то есть $%z=0$% есть устранимая особенность.

Пусть $%z=2\pi k\ne0$%. Тогда предел числителя конечен и не равен нулю. Положим $%z=2\pi k+w$%, где $%w\to0$%. Тогда $%e^{iz}-1=e^{iw}-1\sim iw$%, что даёт полюса первого порядка в точках этого вида.

2) Здесь $%z=0$% даёт полюс второго порядка, что очевидно. Рассмотрим точки, для которых $%\sin z=2$%, то есть $%e^{iz}-e^{-iz}=4i$%. Решая квадратное уравнение относительно $%e^{iz}$%, находим корни $%i(2\pm\sqrt3)$%. Отсюда выражаем $%z_k=\frac{\pi}2+2\pi k+i\ln(2\pm\sqrt3)$%. Это семейство особых точек для каждого $%k\in\mathbb Z$%.

При $%z\to z_k$% имеем $%\sin z-2=\sin z-\sin z_k=2\sin\frac{z-z_k}2\cos\frac{z+z_k}2$%. Предел косинуса равен $%\cos z_k\ne0$%, так как $%\sin z_k=2$% (с учётом основного тригонометрического тождества). Далее, синус эквивалентен $%\frac12(z-z_k)$%, откуда следует, что точка $%z=z_k$% является полюсом первого порядка.

ссылка

отвечен 6 Дек 19:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,132

задан
6 Дек 16:53

показан
30 раз

обновлен
6 Дек 19:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru